微分方程
本节仅讨论常微分方程，即只有一个自变量的微分方程。[偏微分方程则有多个自变量。例如，时间相关的薛定谔方程（1.16）中，$t$ 和 $x$ 是自变量。] 常微分方程是涉及自变量 $x$、因变量 $y(x)$ 以及 $y$ 的一阶、二阶、……、$n$ 阶导数（$y',y'',\ldots,y^{(n)}$）的关系式。例如：
$$y'' + 2x(y')^2 + y^2 \sin x = 3e^x \tag{2.1}$$
微分方程的阶数是方程中最高导数的阶数。因此，（2.1）式是一个三阶方程。
一种特殊的微分方程是线性微分方程，其形式为：
$$A_n(x)y^{(n)} + A_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + A_1(x)y' + A_0(x)y = g(x) \tag{2.2}$$
其中 $A$ 和 $g$（其中一些可能为零）仅是 $x$ 的函数。在 $n$ 阶线性微分方程（2.2）中，$y$ 及其导数以一次幂出现。不能写成（2.2）形式的微分方程是非线性的。如果（2.2）中的 $g(x) = 0$，则线性微分方程是齐次的；否则是非齐次的。一维薛定谔方程（1.19）是一个线性齐次二阶微分方程。
通过除以 $y''$ 的系数，我们可以将每个线性齐次二阶微分方程写成以下形式：
$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \tag{2.3}$$
假设 $y_1$ 和 $y_2$ 是两个独立的函数，每个都满足（2.3）。这里的独立意味着 $y_2$ 不是 $y_1$ 的简单倍数。那么线性齐次微分方程（2.3）的通解为：
$$y = c_1y_1 + c_2y_2 \tag{2.4}$$
微分方程的通解与常系数线性齐次方程
在求解微分方程时，我们经常需要找到方程的通解。通解通常包含一些任意常数，这些常数可以通过边界条件来确定。边界条件是指在某些点上指定 $y$ 或其导数的值。例如，如果 $y$ 表示一根固定在两点的振动弦的位移，我们知道在这两点上 $y$ 必须为零。
对于一个线性齐次二阶微分方程，如果 $y_1$ 和 $y_2$ 是两个独立的解，那么方程的通解可以表示为：
$$y = c_1 y_1 + c_2 y_2 \tag{2.4}$$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。通过将（2.4）代入方程（2.3）的左边，可以验证这一点：
$$\begin{align} c_1 y_1'' + c_2 y_2'' & + P(x) c_1 y_1' + P(x) c_2 y_2' \ & + Q(x) c_1 y_1 + Q(x) c_2 y_2 = c_1 [y_1'' + P(x) y_1' + Q(x) y_1] \ & + c_2 [y_2'' + P(x) y_2' + Q(x) y_2] = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 0 = 0 \tag{2.5} \end{align}$$
这里利用了 $y_1$ 和 $y_2$ 满足方程（2.3）的事实。
常系数线性齐次方程
一个重要的特殊情况是常系数的线性齐次二阶微分方程：
$$y'' + p y' + q y = 0 \tag{2.6}$$
其中 $p$ 和 $q$ 是常数。为了求解（2.6），我们假设解的形式为 $y = e^{sx}$。指数函数在求导时会重复自身，因此是一个合适的选择。将 $y = e^{sx}$ 代入（2.6）得到：
$$s^2 e^{sx} + p s e^{sx} + q e^{sx} = 0$$ $$s^2 + p s + q = 0 \tag{2.7}$$
方程（2.7）称为辅助方程。它是一个二次方程，有两个根 $s_1$ 和 $s_2$。如果 $s_1$ 和 $s_2$ 不相等，它们将给出方程（2.6）的两个独立解。因此，方程（2.6）的通解为：
$$y = c_1 e^{s_1 x} + c_2 e^{s_2 x} \tag{2.8}$$
例如，对于方程 $y'' + 6y' - 7y = 0$，辅助方程是 $s^2 + 6s - 7 = 0$。使用求根公式得到 $s_1 = 1$ 和 $s_2 = -7$，因此通解为 $c_1 e^x + c_2 e^{-7x}$。
本文参考自： Levine, Ira N. "Quantum Chemistry, 58." PHI Learning Pri. Ltd. Delhi (2013): 461-462.