超越弛豫时间近似

本文是「固体物理学」系列的第 16 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 16 章的中文译稿。

第 13 章的一般半经典输运理论（general semiclassical theory of conduction），以及第 1、2 章的论述，都将电子碰撞描述为随机、互不相关的事件，可以用弛豫时间近似（relaxation-time approximation）处理。这一近似假定，非平衡电子分布函数（nonequilibrium electronic distribution function）的形式既不影响某个给定电子发生碰撞的速率，也不影响碰撞后电子的分布。¹

我们并未尝试论证这些假设。采用它们只是因为，对于碰撞确实发生并最终导致热平衡这一事实，它们给出了最简单的表述。实际上，就细节而言，这些假设肯定是错误的。即使在独立电子近似（independent electron approximation）中，电子发生碰撞的速率也强烈依赖于其他电子的分布，因为泡利不相容原理（Pauli exclusion principle）只允许电子散射到未被占据的电子能级中。此外，碰撞后电子的分布确实依赖于电子分布函数。这不仅是因为不相容原理限制了可用的末态能级，也是因为碰撞的净输出依赖于输入的形式，而输入由分布函数决定。

因此，从基于弛豫时间近似的计算中得出结论时，必须十分审慎。一般而言，只有当碰撞过程的细节显然影响很小时，才能有把握地使用这些结果。例如，高频（$\omega\tau\gg1$）电导率和强场（$\omega_c\tau\gg1$）霍尔系数（Hall coefficient）不会因改进弛豫时间近似而改变，因为它们描述的是每个周期内、或在磁场中每个回转周期内，碰撞次数趋于零的极限情形。

有效性超出弛豫时间近似范围的结果，通常涉及与 $\tau$ 无关的量。例如，强场霍尔系数为 $R_H=-1/nec$。然而，不应未经审视就认为，所有不出现 $\tau$ 的表达式在超越弛豫时间近似后仍然成立。一个值得注意的反例是维德曼—弗兰兹定律（Wiedemann-Franz law）：它预言，金属热导率与电导率之比具有普适值 $(\pi^2/3)(k_B/e)^2T$，与 $\tau_n(\boldsymbol{k})$ 的函数形式无关。² 尽管如此，我们将看到，在不作弛豫时间近似时，这一定律只有在每次碰撞中每个电子的能量均守恒时才成立。

当碰撞过程的特定特征十分重要时，只要这些特征是总体性质而不是微小细节，弛豫时间近似仍然可以提供很多有用信息。因此，在描述半导体时，往往为电子和空穴指定不同的弛豫时间；也就是说，使用依赖于能带指标而不依赖于波矢的 $\tau$。如果有理由认为散射过程在一个能带中比另一个能带中频繁得多，那么，在推导这种差异的一般影响时，这样的简化就可能很有价值。然而，对于那些敏感地依赖 $\tau_n(\boldsymbol{k})$ 函数形式细节的结果，应当持怀疑态度。例如，如果试图根据一组数据和基于弛豫时间近似的理论，推导某个给定能带的 $\tau(\boldsymbol{k})$，则没有理由期待不同类型的实验测定不会给出完全不同的 $\tau(\boldsymbol{k})$ 函数。弛豫时间近似忽略了这样一个事实：散射的性质确实依赖于非平衡电子分布函数，而这个函数通常会随实验条件的不同而不同。

本章将介绍更准确的碰撞描述，并将其与弛豫时间近似进行比较。除上述情形外，只要对输运的描述要求比粗略的定性描述更准确，就要使用这种描述。

电子散射的来源（SOURCES OF ELECTRONIC SCATTERING）

如何描述电子碰撞，取决于哪些具体碰撞机制起重要作用。我们已经指出，³ 德鲁德（Drude）关于电子与单个离子碰撞的想法存在严重不足。根据布洛赫理论（Bloch theory），电子在完全周期性的离子排列中根本不会发生碰撞。在独立电子近似中，碰撞只能源于对完全周期性的偏离。这些偏离分为两大类：

1. 杂质和晶体缺陷（Impurities and Crystal Defects）  点缺陷（point defects，第 30 章）——例如缺失的离子，或偶尔出现在错误位置的离子——所起的作用与杂质十分相似，即提供局域散射中心。这些大概是最容易描述的碰撞机制。此外，还可能存在范围更大的缺陷，其中晶格周期性沿一条线、甚至在整个平面上遭到破坏。⁴
2. 完美晶体中因离子热振动而产生的对周期性的内禀偏离（Intrinsic Deviations from Periodicity in a Perfect Crystal, due to Thermal Vibrations of the Ions）  即使没有杂质或缺陷，离子也不会刚性地固定在理想周期性排列的格点上，因为它们具有一定的动能，而且动能随温度升高而增大（第 21–26 章）。在熔点以下，这种能量很少足以使离子远离其理想平衡位置；热能的主要作用是使离子围绕这些位置作小幅振动。离子网络因这些振动而偏离完全周期性，这是直流（DC）电阻率具有温度依赖性的最重要来源（第 26 章），而且通常是室温下占主导地位的散射机制。温度降低时，离子振动的振幅减小，最终杂质散射和缺陷散射占据主导地位。

除了因偏离完全周期性而产生的散射机制之外，另一个在独立电子近似中被忽略的散射来源，来自电子之间的相互作用。电子—电子散射（electron-electron scattering）⁵ 在固体输运理论中所起的作用相对较小，原因将在第 17 章说明。在高温下，它远不如离子热振动引起的散射重要；而在低温下，除非晶体具有极高的纯度和完善程度，否则杂质散射或缺陷散射将占据主导地位。

散射概率与弛豫时间（SCATTERING PROBABILITY AND RELAXATION TIME）

更实际的碰撞描述不采用弛豫时间近似，而是假定：能带 $n$ 中波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的电子，因碰撞而散射到能带 $n^{\prime}$ 中波矢为 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 的状态，具有一个单位时间内的概率（由适当的微观计算确定）。为简便起见，我们将讨论限于单个能带，⁶ 假定散射只在该能带内发生（$n^{\prime}=n$）。我们还假定电子自旋在散射中守恒。⁷ 最后，我们假定碰撞在空间和时间上能够很好地局域化，因此在 $\boldsymbol{r},t$ 处发生的碰撞由 $\boldsymbol{r},t$ 紧邻区域内固体的性质决定。由于影响 $\boldsymbol{r},t$ 处碰撞的所有量都将在该点取值，为简化记号，我们省略对这些变量的显式表示。

散射概率用量 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 表示，其定义如下：在无穷小时间间隔 $dt$ 内，波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的电子散射到以 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 为中心、无穷小 $\boldsymbol{k}$ 空间体积元 $d\boldsymbol{k}^{\prime}$ 内的某一能级（自旋相同）的概率，假定这些能级均未被占据（因而不受不相容原理禁止），为

$$ \frac{W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}\,dt\,d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}. \tag{16.1} $$

$W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 的具体形式取决于所描述的散射机制。一般而言，$W$ 的结构会相当复杂，并且可能依赖于分布函数 $g$。下文将考虑 $W$ 的一种特别简单的可能形式（式 (16.14)）；但目前我们要阐明的几点只依赖于 $W$ 的存在，而不依赖于它的详细结构。

给定 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 和电子分布函数 $g$，就可以显式构造波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的电子在单位时间内发生某次碰撞的概率。根据定义，这个量就是 $1/\tau(\boldsymbol{k})$（第 244 页），其结构揭示了弛豫时间近似的一些局限。$W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}\,d\boldsymbol{k}^{\prime}/(2\pi)^3$ 是波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的电子在单位时间内散射到以 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 为中心的 $d\boldsymbol{k}^{\prime}$ 内那组能级（自旋相同）的概率，前提是这些能级均未被占据。因此，实际的跃迁速率必须按这些能级中实际未被占据的比例减小（因为不相容原理禁止跃迁到已被占据的能级）。这个比例就是⁸ $1-g(\boldsymbol{k}^{\prime})$。对所有末态波矢 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 求和，就得到单位时间内发生碰撞的总概率：

$$ \frac{1}{\tau(\boldsymbol{k})}=\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}[1-g(\boldsymbol{k}^{\prime})]. \tag{16.2} $$

由式 (16.2) 显然可见，与弛豫时间近似不同，$\tau(\boldsymbol{k})$ 不是一个预先指定的 $\boldsymbol{k}$ 的函数，而是依赖于非平衡分布函数 $g$ 所取的具体形式。

碰撞引起的分布函数变化率（RATE OF CHANGE OF THE DISTRIBUTION FUNCTION DUE TO COLLISIONS）

用稍有不同的方式表达式 (16.2) 中的信息会更方便。我们定义量 $(dg(\boldsymbol{k})/dt)_{\mathrm{out}}$，使单位体积中波矢位于以 $\boldsymbol{k}$ 为中心的无穷小体积元 $d\boldsymbol{k}$ 内、在无穷小时间间隔 $dt$ 中发生碰撞的电子数为

$$ -\left(\frac{dg(\boldsymbol{k})}{dt}\right)_{\mathrm{out}}\frac{d\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\,dt. \tag{16.3} $$

由于 $d\boldsymbol{k}$ 是无穷小量，任何碰撞对该体积元中电子的作用，都是使它离开该体积元。因此，式 (16.3) 也可以看作在时间间隔 $dt$ 内，从以 $\boldsymbol{k}$ 为中心的体积元 $d\boldsymbol{k}$ 中散射出去的电子数。

为求出 $(dg(\boldsymbol{k})/dt)_{\mathrm{out}}$，只需注意，$dt/\tau(\boldsymbol{k})$ 是 $\boldsymbol{k}$ 附近任一电子在时间间隔 $dt$ 内发生散射的概率。因此，单位体积中以 $\boldsymbol{k}$ 为中心的 $d\boldsymbol{k}$ 内发生碰撞的电子总数，就是 $dt/\tau(\boldsymbol{k})$ 乘以单位体积中以 $\boldsymbol{k}$ 为中心的 $d\boldsymbol{k}$ 内的电子数 $g(\boldsymbol{k})\,d\boldsymbol{k}/(2\pi)^3$。与式 (16.3) 比较，得到

$$ \begin{aligned}\left(\frac{dg(\boldsymbol{k})}{dt}\right)_{\mathrm{out}}&=-\frac{g(\boldsymbol{k})}{\tau(\boldsymbol{k})}\\&=-g(\boldsymbol{k})\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}[1-g(\boldsymbol{k}^{\prime})].\end{aligned} \tag{16.4} $$

散射并不只以这一种方式影响分布函数：电子不仅从能级 $\boldsymbol{k}$ 中散射出去，也会从其他能级散射进来。我们用量 $(dg(\boldsymbol{k})/dt)_{\mathrm{in}}$ 描述这种过程，其定义使

$$ \left(\frac{dg(\boldsymbol{k})}{dt}\right)_{\mathrm{in}}\frac{d\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\,dt \tag{16.5} $$

就是单位体积中在无穷小时间间隔 $dt$ 内，因碰撞而到达以 $\boldsymbol{k}$ 为中心的体积元 $d\boldsymbol{k}$ 的电子数。

为求出 $(dg(\boldsymbol{k})/dt)_{\mathrm{in}}$，考虑那些在碰撞前一刻位于以 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 为中心的体积元 $d\boldsymbol{k}^{\prime}$ 中的电子所作的贡献。这些具有指定自旋的电子总数为 $g(\boldsymbol{k}^{\prime})d\boldsymbol{k}^{\prime}/(2\pi)^3$。如果体积元 $d\boldsymbol{k}$ 内所有能级均为空，这些电子中将有比例为 $W_{\boldsymbol{k}^{\prime},\boldsymbol{k}}\,dt\,d\boldsymbol{k}/(2\pi)^3$ 的电子散射到以 $\boldsymbol{k}$ 为中心的 $d\boldsymbol{k}$ 中；然而，实际只有比例为 $1-g(\boldsymbol{k})$ 的能级为空，因此上述比例必须乘以这一因子而减小。于是，在时间间隔 $dt$ 内，因碰撞而从以 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 为中心的体积元 $d\boldsymbol{k}^{\prime}$ 到达以 $\boldsymbol{k}$ 为中心的体积元 $d\boldsymbol{k}$ 的单位体积电子总数为

$$ \left[g(\boldsymbol{k}^{\prime})\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\right]\left[W_{\boldsymbol{k}^{\prime},\boldsymbol{k}}\frac{d\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\,dt\right][1-g(\boldsymbol{k})]. \tag{16.6} $$

对所有 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 求和，并将结果与式 (16.5) 比较，得到

$$ \left(\frac{dg(\boldsymbol{k})}{dt}\right)_{\mathrm{in}}=[1-g(\boldsymbol{k})]\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k}^{\prime},\boldsymbol{k}}g(\boldsymbol{k}^{\prime}), \tag{16.7} $$

其结构与式 (16.4) 相同，只是交换了 $\boldsymbol{k}$ 和 $\boldsymbol{k}^{\prime}$。

将这些表达式与弛豫时间近似中的相应量比较，很有启发性。$(dg(\boldsymbol{k})/dt)_{\mathrm{out}}$ 的弛豫时间近似与式 (16.4) 的差别仅在于，碰撞速率 $1/\tau(\boldsymbol{k})$ 是一个明确指定的 $\boldsymbol{k}$ 的函数，不依赖于分布函数 $g$，这与式 (16.2) 相反。$(dg(\boldsymbol{k})/dt)_{\mathrm{in}}$ 的表达式 (16.7) 与弛豫时间近似中的相应量，差别更为明显。因为弛豫时间近似断言，在时间间隔 $dt$ 内从碰撞中产生的电子分布，简单地等于 $dt/\tau(\boldsymbol{k})$ 乘以局域平衡分布函数（local equilibrium distribution function）$g^0(\boldsymbol{k})$（见式 (13.3)）。这些结果汇总于表 16.1。

表 16.1
碰撞的一般处理与弛豫时间近似中的简化之比较

将 $(dg/dt)_{\mathrm{coll}}$ 定义为碰撞引起的分布函数总变化率是方便的：$(dg(\boldsymbol{k})/dt)_{\mathrm{coll}}\,dt\,d\boldsymbol{k}/(2\pi)^3$ 是在时间间隔 $dt$ 内，由所有碰撞引起的、单位体积中波矢位于以 $\boldsymbol{k}$ 为中心的体积元 $d\boldsymbol{k}$ 内的电子数的变化。由于碰撞既可以使电子散射进入 $d\boldsymbol{k}$，也可以使其散射出去，因此 $(dg/dt)_{\mathrm{coll}}$ 就是 $(dg/dt)_{\mathrm{in}}$ 与 $(dg/dt)_{\mathrm{out}}$ 之和：

$$ \boxed{\left(\frac{dg(\boldsymbol{k})}{dt}\right)_{\mathrm{coll}}=-\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,\{W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}g(\boldsymbol{k})[1-g(\boldsymbol{k}^{\prime})]-W_{\boldsymbol{k}^{\prime},\boldsymbol{k}}g(\boldsymbol{k}^{\prime})[1-g(\boldsymbol{k})]\}.} \tag{16.8} $$

在弛豫时间近似中（见表 16.1），这简化为

$$ \left(\frac{dg(\boldsymbol{k})}{dt}\right)_{\mathrm{coll}}=-\frac{[g(\boldsymbol{k})-g^0(\boldsymbol{k})]}{\tau(\boldsymbol{k})}.\qquad\text{（弛豫时间近似）} \tag{16.9} $$

分布函数的确定：玻尔兹曼方程（DETERMINATION OF THE DISTRIBUTION FUNCTION: THE BOLTZMANN EQUATION）

放弃弛豫时间近似后，就不能像第 13 章那样，通过考察过去的所有时刻，利用半经典运动方程的解构造非平衡分布函数 $g$ 的显式表示。不过，我们可以回答一个要求较低的问题：如何根据无穷小时间 $dt$ 之前的值，构造时刻 $t$ 的 $g$。

为此，我们先忽略 $t-dt$ 与 $t$ 之间发生碰撞的可能性，稍后再修正这一遗漏。如果没有碰撞，每个电子的 $\boldsymbol{r}$ 和 $\boldsymbol{k}$ 坐标就会按照半经典运动方程 (12.6) 演化：

$$ \dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}),\quad\hbar\dot{\boldsymbol{k}}=-e\left(\boldsymbol{E}+\frac{1}{c}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{H}\right)=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r},\boldsymbol{k}). \tag{16.10} $$

由于 $dt$ 为无穷小量，可以求得这些方程关于 $dt$ 的线性阶显式解：时刻 $t$ 位于 $\boldsymbol{r},\boldsymbol{k}$ 的电子，在时刻 $t-dt$ 必定位于 $\boldsymbol{r}-\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k})dt,\boldsymbol{k}-\boldsymbol{F}\,dt/\hbar$。在没有碰撞时，这是位于 $\boldsymbol{r},\boldsymbol{k}$ 的电子唯一可能的出发点，而该点的每个电子都会到达 $\boldsymbol{r},\boldsymbol{k}$ 点。因此，⁹

$$ g(\boldsymbol{r},\boldsymbol{k},t)=g(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k})\,dt,\boldsymbol{k}-\boldsymbol{F}\,dt/\hbar,t-dt). \tag{16.11} $$

为计入碰撞，必须在式 (16.11) 中加上两个修正项。右端并不正确，因为它假定所有电子都在时间 $dt$ 内从 $\boldsymbol{r}-\boldsymbol{v}\,dt,\boldsymbol{k}-\boldsymbol{F}\,dt/\hbar$ 到达 $\boldsymbol{r},\boldsymbol{k}$，忽略了部分电子因碰撞而改变运动方向这一事实。右端还不正确，因为它没有计入那些在时刻 $t$ 出现在 $\boldsymbol{r},\boldsymbol{k}$ 处、并非由于从时刻 $t-dt$ 起不受阻碍的半经典运动，而是由于在 $t-dt$ 与 $t$ 之间发生碰撞而到达那里的电子。加上这些修正项，取 $dt$ 的最低阶，得到：

$$ \begin{aligned}g(\boldsymbol{r},\boldsymbol{k},t)={}&g(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k})dt,\boldsymbol{k}-\boldsymbol{F}\,dt/\hbar,t-dt)&&\text{（无碰撞演化）}\\&+\left(\frac{\partial g(\boldsymbol{r},\boldsymbol{k},t)}{\partial t}\right)_{\mathrm{out}}dt&&\begin{gathered}\text{（修正：部分电子}\\\text{因碰撞而未能到达）}\end{gathered}\\&+\left(\frac{\partial g(\boldsymbol{r},\boldsymbol{k},t)}{\partial t}\right)_{\mathrm{in}}dt.&&\begin{gathered}\text{（修正：部分电子}\\\text{仅因碰撞才到达）}\end{gathered}\end{aligned} \tag{16.12} $$

如果将右端的平移分布函数展开到 $dt$ 的线性阶，那么在 $dt\to0$ 的极限下，式 (16.12) 化为

$$ \boxed{\frac{\partial g}{\partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{r}}g+\boldsymbol{F}\cdot\frac{1}{\hbar}\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{k}}g=\left(\frac{\partial g}{\partial t}\right)_{\mathrm{coll}}.} \tag{16.13} $$

这就是著名的玻尔兹曼方程（Boltzmann equation）。左端各项通常称为漂移项（drift terms），右端项称为碰撞项（collision term）。当碰撞项采用式 (16.8) 的形式时，玻尔兹曼方程一般成为非线性积分微分方程。这一方程是固体输运理论的核心。为了从中提取有关分布函数、进而有关各种电导率和热导率的信息，人们已经发展出许多精细而巧妙的方法。¹⁰ 这里不再深入讨论这一主题，只在有助于阐明弛豫时间近似局限性的范围内使用玻尔兹曼方程。

如果用弛豫时间近似 (16.9) 替换玻尔兹曼方程中的碰撞项，方程就简化为线性偏微分方程。可以证明，我们由弛豫时间近似构造的分布函数 (13.17) 就是这个方程的解（这必然如此，因为两种推导基于相同的假设）。我们强调这一等价性，是因为通常在推导第 13 章所得的那类结果时，并不直接使用弛豫时间近似给出的显式分布函数 (13.17)，而是采用一条看起来很不同的途径：求解玻尔兹曼方程 (16.13)，其中碰撞项由弛豫时间近似 (16.9) 给出。习题 2 和 3 展示了这两种途径的等价性，其中用弛豫时间近似下的玻尔兹曼方程，重新推导了第 13 章的一些典型结果。

杂质散射（IMPURITY SCATTERING）

我们希望将弛豫时间近似的一些预言，与更准确的碰撞项 (16.8) 所蕴含的结果进行比较。当需要碰撞概率 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 的具体形式时，我们将专门考虑在解析处理上最简单的情形：由固定的替位杂质（substitutional impurities）引起的弹性散射，这些杂质随机分布在整个晶体的晶格位置上。这并非人为假设的情形，因为随着温度降低，离子热振动引起的散射（第 26 章）和电子—电子散射（第 17 章）都越来越弱，而杂质浓度及电子—杂质相互作用都不表现出明显的温度依赖性。因此，在足够低的温度下，杂质散射将是任何实际样品中占主导地位的碰撞来源。只要杂质基态与最低激发态之间的能隙（通常为电子伏量级）远大于 $k_BT$，这种散射就是弹性的。这将保证：(a) 在碰撞中能向电子释放能量的激发态杂质离子很少；(b) 能量足够低、可以接收一个已损失足够能量而使杂质离子从基态激发的电子的空电子能级很少。

如果杂质足够稀疏，¹¹ 而描述电子与原点处单个杂质之间相互作用的势 $U(\boldsymbol{r})$ 足够弱，则可以证明

$$ W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}=\frac{2\pi}{\hbar}\,n_i\delta(\mathcal E(\boldsymbol{k})-\mathcal E(\boldsymbol{k}^{\prime}))|\langle\boldsymbol{k}|U|\boldsymbol{k}^{\prime}\rangle|^2, \tag{16.14} $$

其中 $n_i$ 是单位体积内的杂质数，

$$ \langle\boldsymbol{k}|U|\boldsymbol{k}^{\prime}\rangle=\int d\boldsymbol{r}\,\psi_{n\boldsymbol{k}}^*(\boldsymbol{r})U(\boldsymbol{r})\psi_{n\boldsymbol{k}^{\prime}}(\boldsymbol{r}), \tag{16.15} $$

校对注：式（16.15）按左态复共轭、右态不共轭的矩阵元定义修正波矢次序。

布洛赫函数的归一化取为

$$ \int_{\mathrm{cell}}d\boldsymbol{r}\,|\psi_{n\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})|^2=v_{\mathrm{cell}}. \tag{16.16} $$

式 (16.14) 可以通过将一阶含时微扰理论（first-order time-dependent perturbation theory）的“黄金规则”（Golden Rule）¹²用于布洛赫电子被各个杂质散射的过程而推导出来。从所有电子和杂质的基本哈密顿量出发，推导碰撞项由式 (16.8) 和 (16.14) 给出的整个玻尔兹曼方程，构造这样一种更基础的推导要困难得多。¹³

这里不再推导式 (16.14)，因为我们只会用到结果的几个十分一般的性质：

1.  由于式 (16.14) 中的 delta 函数，除非 $\mathcal E(\boldsymbol{k})=\mathcal E(\boldsymbol{k}^{\prime})$，否则 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}=0$；散射明确是弹性的。

2.  $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 与电子分布函数 $g$ 无关。这是独立电子近似的结果：电子与杂质相互作用的方式，除了不相容原理所施加的限制之外，与其他电子无关。这是杂质散射能够大幅简化的主要特点。例如，在电子—电子散射中，$W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 依赖于分布函数 $g$，因为除了不相容原理施加的简单限制之外，电子发生散射的概率还取决于有哪些其他电子可供它相互作用。离子热振动所致散射的描述也更复杂，因为 $W$ 将依赖于离子系统的性质，而这些性质可能相当复杂。

3.  $W$ 具有对称性

$$ W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}=W_{\boldsymbol{k}^{\prime},\boldsymbol{k}}, \tag{16.17} $$

这来自 $U$ 是厄米的（Hermitian）这一事实（$\langle\boldsymbol{k}|U|\boldsymbol{k}^{\prime}\rangle=\langle\boldsymbol{k}^{\prime}|U|\boldsymbol{k}\rangle^*$）。可以证明，这种对称性并不依赖于杂质—电子相互作用的弱小；只要晶体势和杂质势均为实数，并在空间反演下不变，它就一般成立。对称性 (16.17) 通常称为“细致平衡”（detailed balancing）。对于更一般的散射机制，也存在相关但更复杂的对称性；它们在研究趋于热力学平衡的过程时十分重要。

对称性 (16.17) 将碰撞项 (16.8) 简化为

$$ \left(\frac{dg(\boldsymbol{k})}{dt}\right)_{\mathrm{coll}}=-\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}[g(\boldsymbol{k})-g(\boldsymbol{k}^{\prime})]. \tag{16.18} $$

注意，由于不相容原理而出现在式 (16.8) 中的 $g$ 的二次项，因对称性 (16.17) 而恒等抵消。

本章其余部分将讨论一些典型问题。要正确表述这些问题，就需要比弛豫时间近似所能提供的更准确的碰撞描述。

维德曼—弗兰兹定律（THE WIEDEMANN-FRANZ LAW）

第 13 章对维德曼—弗兰兹定律的推导看起来十分一般。然而，不采用弛豫时间近似而重新考察这个问题时，可以证明，这一定律仅当每次碰撞中每个电子的能量都守恒时才成立。相应的数学要求是：对于任意函数 $g(\boldsymbol{k})$，散射概率 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 必须满足

$$ \int d\boldsymbol{k}^{\prime}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}\mathcal E(\boldsymbol{k}^{\prime})g(\boldsymbol{k}^{\prime})=\mathcal E(\boldsymbol{k})\int d\boldsymbol{k}^{\prime}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}g(\boldsymbol{k}^{\prime}). \tag{16.19} $$

当 $W$ 具有能量守恒形式 (16.14) 时，这一条件显然满足；但如果对于 $\mathcal E(\boldsymbol{k})\ne\mathcal E(\boldsymbol{k}^{\prime})$ 的 $\boldsymbol{k}$ 和 $\boldsymbol{k}^{\prime}$，$W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 可以不为零，这个条件就不成立。

若用解析方法证明弹性散射条件 (16.19) 足以保证维德曼—弗兰兹定律成立，就会离题太远。不过，其物理原因并不难理解。由于每个电子的电荷始终为 $-e$，碰撞只有通过改变每个电子的速度才能削弱电流。然而，在热流（式 (13.42)）中，电荷被 $(\mathcal E-\mu)/T$ 所替代。因此，如果每次碰撞中能量都守恒，（电荷当然守恒），那么热流的衰减方式和衰减程度就与电流完全相同。然而，如果碰撞不保持每个电子的能量 $\mathcal E$，就会出现第二种使热流衰减的机制，而电流中没有与之对应的机制：碰撞既可以改变电子的能量 $\mathcal E$，也可以改变其速度。由于这种非弹性碰撞对热流和电流的影响会有显著差异，就再也没有理由期待电导率与热导率之间存在简单关系。¹⁴

显然，如果能量近似守恒，维德曼—弗兰兹定律也就近似成立。关键要求是，每个电子在一次碰撞中的能量变化，应当远小于 $k_BT$。事实表明，离子热振动引起的散射在高温下可以满足这一条件。由于这种散射是高温下占主导地位的碰撞来源，维德曼—弗兰兹定律一般在高温和低温¹⁵下都得到很好的遵守。然而，在中间温区（大约从十 K 到几百 K），非弹性碰撞既普遍存在，又能产生 $k_BT$ 量级的电子能量损失，因此人们预期并观察到维德曼—弗兰兹定律的失效。

马蒂森定则（MATTHIESSEN'S RULE）

假设存在两种在物理上可区分的散射来源（例如杂质散射和其他电子引起的散射）。如果一种机制的存在不改变另一种机制的作用方式，则总碰撞速率 $W$ 由各个机制引起的碰撞速率之和给出：

$$ W=W^{(1)}+W^{(2)}. \tag{16.20} $$

在弛豫时间近似中，这立即意味着

$$ \frac{1}{\tau}=\frac{1}{\tau^{(1)}}+\frac{1}{\tau^{(2)}}. \tag{16.21} $$

如果进一步假定每种机制的弛豫时间都与 $\boldsymbol{k}$ 无关，那么，由于电阻率正比于 $1/\tau$，便有

$$ \rho=\frac{m}{ne^2\tau}=\frac{m}{ne^2}\frac{1}{\tau^{(1)}}+\frac{m}{ne^2}\frac{1}{\tau^{(2)}}=\rho^{(1)}+\rho^{(2)}. \tag{16.22} $$

这表明，当存在几种不同的散射机制时，电阻率就是每种机制单独存在时的电阻率之和。这一命题称为马蒂森定则（Matthiessen's rule）。乍看起来，其实用性似乎值得怀疑，因为很难想象如何在其他一切条件不变时去掉一个散射来源。不过，它确实给出了一些容易检验的一般性原理判断。例如，弹性杂质散射应当以与温度无关的速率发生（因为杂质数量及其与电子的相互作用都不会显著受温度影响），而电子—电子散射速率应当正比于 $T^2$（在最简单的理论中；见第 17 章）。因此，如果杂质散射和电子—电子散射是主要机制，马蒂森定则预言电阻率具有 $\rho=A+BT^2$ 的形式，其中系数 $A$ 和 $B$ 与温度无关。

不难验证，如果 $\tau$ 依赖于 $\boldsymbol{k}$，即使在弛豫时间近似中，马蒂森定则也会失效。因为此时电导率 $\sigma$ 正比于弛豫时间的某种平均值 $\bar\tau$（例如，见式 (13.25)）。于是，电阻率 $\rho$ 正比于 $1/\bar\tau$，而马蒂森定则要求

$$ 1/\bar\tau=1/\overline{\tau^{(1)}}+1/\overline{\tau^{(2)}}. \tag{16.23} $$

然而，式 (16.21) 只能给出如下关系：

$$ \overline{(1/\tau)}=\overline{(1/\tau^{(1)})}+\overline{(1/\tau^{(2)})}, \tag{16.24} $$

除非 $\tau^{(1)}$ 和 $\tau^{(2)}$ 与 $\boldsymbol{k}$ 无关，否则这些关系并不等价于式 (16.23)。

更实际的碰撞图像使马蒂森定则的一般有效性更值得怀疑，因为一旦放弃弛豫时间近似的假设，关于一种机制引起的散射速率不受第二种机制存在与否影响的假设，就变得远不那么可信。电子实际发生碰撞的速率依赖于其他电子的构型，而两种相互竞争的散射机制的存在，会强烈影响这一构型；除非恰巧每种散射机制单独存在时的分布函数相同。

不过，可以在不作弛豫时间近似的情况下证明，马蒂森定则以不等式的形式成立：¹⁶

$$ \rho\ge\rho^{(1)}+\rho^{(2)}. \tag{16.25} $$

对马蒂森定则失效程度的定量解析研究十分复杂。这一定则作为粗略判断可能结果的指南，当然很有价值；但必须始终牢记它可能严重失效，而朴素的弛豫时间近似掩盖了这种可能性。

各向同性材料中的散射（SCATTERING IN ISOTROPIC MATERIALS）

有时有人断言，在各向同性（isotropic）系统中可以论证弛豫时间近似的合理性。这是一个有趣而有用的观察，但必须注意它的局限。这一点出现在各向同性金属中弹性杂质散射的描述中。两个关键条件¹⁷是：

• (a) 能量 $\mathcal E(\boldsymbol{k})$ 必须只依赖于矢量 $\boldsymbol{k}$ 的模 $k$。
• (b) 两个能级 $\boldsymbol{k}$ 与 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 之间的散射概率，除非 $k=k^{\prime}$ 否则必须为零（即散射必须是弹性的），并且只能依赖于它们共同的能量值以及 $\boldsymbol{k}$ 与 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 之间的夹角。

如果条件 (a) 成立，那么在弛豫时间近似中，存在静态、空间均匀的电场及温度梯度时的非平衡分布函数，即式 (13.43)，具有一般形式¹⁸

$$ g(\boldsymbol{k})=g^0(\boldsymbol{k})+\boldsymbol{a}(\mathcal E)\cdot\boldsymbol{k}, \tag{16.26} $$

其中，矢量函数 $\boldsymbol{a}$ 只通过 $\boldsymbol{k}$ 的模——即只通过 $\mathcal E(\boldsymbol{k})$——依赖于 $\boldsymbol{k}$；$g^0(\boldsymbol{k})$ 是局域平衡分布函数。当散射是弹性杂质散射，而且条件 (a) 和 (b) 成立时，可以证明：如果弛豫时间近似下玻尔兹曼方程的解具有形式 (16.26)，¹⁹那么它也是完整玻尔兹曼方程的解。

为证明这一点，只需说明：每当分布函数 $g$ 具有形式 (16.26) 时，$(dg/dt)_{\mathrm{coll}}$ 的更准确表达式 (16.18)，就化为弛豫时间近似所假定的形式 (16.9)。因此，必须证明可以找到一个不依赖于分布函数 $g$ 的函数 $\tau(\boldsymbol{k})$，使得当 $g$ 具有形式 (16.26)，且散射是弹性的各向同性杂质散射时，有

$$ \int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}[g(\boldsymbol{k})-g(\boldsymbol{k}^{\prime})]=\frac{1}{\tau(\boldsymbol{k})}[g(\boldsymbol{k})-g^0(\boldsymbol{k})]. \tag{16.27} $$

如果将分布函数 (16.26) 代入式 (16.27)，并注意到在弹性散射中，除非 $\mathcal E(\boldsymbol{k})=\mathcal E(\boldsymbol{k}^{\prime})$，否则 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 为零，则矢量 $\boldsymbol{a}(\mathcal E^{\prime})$ 可以替换为 $\boldsymbol{a}(\mathcal E)$，并移到积分号外，将条件 (16.27) 化为²⁰

$$ \boldsymbol{a}(\mathcal E)\cdot\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^{\prime})=\frac{1}{\tau(\boldsymbol{k})}\boldsymbol{a}(\mathcal E)\cdot\boldsymbol{k}. \tag{16.28} $$

接下来，将矢量 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 分解为平行于和垂直于 $\boldsymbol{k}$ 的分量：

$$ \boldsymbol{k}^{\prime}=\boldsymbol{k}_{\parallel}^{\prime}+\boldsymbol{k}_{\perp}^{\prime}=(\hat{\boldsymbol{k}}\cdot\boldsymbol{k}^{\prime})\hat{\boldsymbol{k}}+\boldsymbol{k}_{\perp}^{\prime}. \tag{16.29} $$

由于散射是弹性的，且 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 只依赖于 $\boldsymbol{k}$ 和 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 之间的夹角，$W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 不能依赖于 $\boldsymbol{k}_{\perp}^{\prime}$，因此 $\int d\boldsymbol{k}^{\prime}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}\boldsymbol{k}_{\perp}^{\prime}$ 必须为零。于是

$$ \int d\boldsymbol{k}^{\prime}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}\boldsymbol{k}^{\prime}=\int d\boldsymbol{k}^{\prime}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}\boldsymbol{k}_{\parallel}^{\prime}=\hat{\boldsymbol{k}}\int d\boldsymbol{k}^{\prime}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}(\hat{\boldsymbol{k}}\cdot\hat{\boldsymbol{k}}^{\prime})k^{\prime}. \tag{16.30} $$

最后，由于 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 只有在 $\boldsymbol{k}$ 与 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 的模相等时才可能非零，式 (16.30) 最后一个被积函数中的因子 $k^{\prime}$ 可以替换为 $k$ 并移到积分号外，与单位矢量 $\hat{\boldsymbol{k}}$ 合并，得到矢量 $\boldsymbol{k}$：

$$ \int d\boldsymbol{k}^{\prime}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}\boldsymbol{k}^{\prime}=\boldsymbol{k}\int d\boldsymbol{k}^{\prime}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}(\hat{\boldsymbol{k}}\cdot\hat{\boldsymbol{k}}^{\prime}). \tag{16.31} $$

由恒等式 (16.31) 可知，只要将 $\tau(\boldsymbol{k})$ 定义为²¹

$$ \frac{1}{\tau(\boldsymbol{k})}=\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}(1-\hat{\boldsymbol{k}}\cdot\hat{\boldsymbol{k}}^{\prime}). \tag{16.32} $$

式 (16.28) 的左端就确实具有与右端相同的形式。

因此，对于存在各向同性弹性杂质散射的各向同性金属中的空间均匀扰动，弛豫时间近似（弛豫时间由式 (16.32) 给出）与完整玻尔兹曼方程提供相同的描述。

注意，式 (16.32) 给出的弛豫时间对应于碰撞概率的加权平均，其中前向散射（forward scattering，$\hat{\boldsymbol{k}}=\hat{\boldsymbol{k}}^{\prime}$）所占的权重很小。如果 $\theta$ 是 $\boldsymbol{k}$ 与 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 之间的夹角，则在小角度时，$1-\hat{\boldsymbol{k}}\cdot\hat{\boldsymbol{k}}^{\prime}=1-\cos\theta\approx\theta^2/2$。小角散射对有效碰撞速率的贡献很小，这是合理的。如果碰撞仅发生在前向方向（即，除非 $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}^{\prime}$，否则 $W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}$ 为零），那么碰撞根本不会产生任何影响。当波矢的可能变化不为零却十分小时，碰撞对电子波矢分布的影响也很小。例如，单次碰撞肯定不会像弛豫时间近似所断言的那样，消除使电子加速的场所留下的全部痕迹；因此，当散射主要是前向散射时，有效弛豫时间的倒数 (16.32) 远小于实际碰撞速率 (16.2)。

这一点具有相当一般的有效性：前向散射对有效“碰撞速率”的贡献小于大角度散射，除非所测量的性质敏感地依赖于某些电子运动的精确方向。第 26 章将说明，这一点对于理解直流电阻率的温度依赖性十分重要。

习题（PROBLEMS）

1.

设 $h(\boldsymbol{k})$ 为任意单电子性质，其总密度为

$$ H=\int\frac{d\boldsymbol{k}}{4\pi^3}\,h(\boldsymbol{k})g(\boldsymbol{k}), \tag{16.33} $$

其中 $g$ 为电子分布函数。例如，如果 $h(\boldsymbol{k})$ 为电子能量 $\mathcal E(\boldsymbol{k})$，则 $H$ 为能量密度 $u$；如果 $h(\boldsymbol{k})$ 为电子电荷 $-e$，则 $H$ 为电荷密度 $\rho$。某点附近的密度 $H$ 会因电子进入或离开该区域而改变，其中一些电子按半经典运动方程运动，另一些则因碰撞而运动。碰撞引起的 $H$ 的变化为

$$ \left(\frac{dH}{dt}\right)_{\mathrm{coll}}=\int\frac{d\boldsymbol{k}}{4\pi^3}\,h(\boldsymbol{k})\left(\frac{\partial g}{\partial t}\right)_{\mathrm{coll}}. \tag{16.34} $$

(a)  由式 (16.8) 证明，如果所有碰撞都保持 $h$ 守恒（即，只在满足 $h(\boldsymbol{k})=h(\boldsymbol{k}^{\prime})$ 的能级 $\boldsymbol{k}$ 与 $\boldsymbol{k}^{\prime}$ 之间发生散射），则 $(dH/dt)_{\mathrm{coll}}$ 为零。

(b)  证明，如果用弛豫时间近似 (16.9) 替换式 (16.8)，则只有当表征局域平衡分布 $f$ 的参数 $\mu(\boldsymbol{r},t)$ 和 $T(\boldsymbol{r},t)$ 所给出的 $H$ 的平衡值等于实际值 (16.33) 时，$(dH/dt)_{\mathrm{coll}}$ 才为零。

(c)  从玻尔兹曼方程 (16.13) 推导连续性方程（equation of continuity）$\nabla\cdot\boldsymbol{j}+\partial\rho/\partial t=0$。

(d)  假设 $(du/dt)_{\mathrm{coll}}=0$，从玻尔兹曼方程 (16.13) 推导能流方程 (13.83)。

2.

金属受到空间均匀的电场和温度梯度的扰动。采用弛豫时间近似 (16.9)（其中 $g_0$ 是与所施加温度梯度相适应的局域平衡分布），求解玻尔兹曼方程 (16.13)，取电场和温度梯度的线性阶，并验证该解与式 (13.43) 相同。

3.

温度恒定、处于均匀静磁场中的金属，受到均匀静电场的扰动。

(a)  采用弛豫时间近似 (16.9)，求解玻尔兹曼方程 (16.13)，取电场的线性阶（对磁场作精确处理），并假设

$$ \mathcal E(\boldsymbol{k})=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \tag{16.35} $$

验证所得解具有形式 (16.26)。

(b)  由所得解构造电导率张量，并验证它与对单个自由电子能带计算式 (13.69) 和 (13.70) 所得的结果一致。

4.

考虑处于静态均匀电场中的金属的玻尔兹曼方程 (16.13)，碰撞项取适用于弹性杂质散射的式 (16.18)。

(a)  假定非平衡分布函数具有形式

$$ g(\boldsymbol{k})=f(\boldsymbol{k})+\delta g(\boldsymbol{k}), \tag{16.36} $$

其中 $f$ 为平衡费米函数，$\delta g(\boldsymbol{k})$ 为 $E$ 阶。取 $E$ 的线性阶，推导 $\delta g$ 满足的积分方程，并证明电导率可以写成

$$ \boldsymbol{\sigma}=e^2\int\frac{d\boldsymbol{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{\partial f}{\partial\mathcal E}\right)\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k})\boldsymbol{u}(\boldsymbol{k}), \tag{16.37} $$

其中 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{k})$ 是积分方程

$$ \boldsymbol{v}(\boldsymbol{k})=\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{k})-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{k}^{\prime})]. \tag{16.38} $$

的一个解。

(b)  设 $\alpha(\boldsymbol{k})$ 和 $\gamma(\boldsymbol{k})$ 为 $\boldsymbol{k}$ 的任意两个函数。定义

$$ (\alpha,\gamma)=e^2\int\frac{d\boldsymbol{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{\partial f}{\partial\mathcal E}\right)\alpha(\boldsymbol{k})\gamma(\boldsymbol{k}) \tag{16.39} $$

则式 (16.37) 可简写为

$$ \sigma_{\mu\nu}=(v_\mu,u_\nu). \tag{16.40} $$

定义

$$ \{\alpha,\gamma\}=e^2\int\frac{d\boldsymbol{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{\partial f}{\partial\mathcal E}\right)\alpha(\boldsymbol{k})\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}[\gamma(\boldsymbol{k})-\gamma(\boldsymbol{k}^{\prime})]. \tag{16.41} $$

证明 $\{\alpha,\gamma\}=\{\gamma,\alpha\}$，并证明式 (16.38) 意味着

$$ \{u_\mu,\gamma\}=(v_\mu,\gamma), \tag{16.42} $$

因此电导率还可写成

$$ \sigma_{\mu\nu}=\{u_\mu,u_\nu\}. \tag{16.43} $$

(c)  对任意 $\alpha$ 和 $\gamma$ 证明

$$ \{\alpha,\alpha\}\ge\frac{\{\alpha,\gamma\}^2}{\{\gamma,\gamma\}}. \tag{16.44} $$

（提示：对任意 $\lambda$，证明 $\{\alpha+\lambda\gamma,\alpha+\lambda\gamma\}\ge0$，并选择使这一不等式左端最小的 $\lambda$。）

(d)  取 $\alpha=u_x$，推导 $\sigma_{xx}$ 满足不等式

$$ \sigma_{xx}\ge\frac{e^2\left[\displaystyle\int\frac{d\boldsymbol{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{\partial f}{\partial\mathcal E}\right)v_x(\boldsymbol{k})\gamma(\boldsymbol{k})\right]^2}{\displaystyle\int\frac{d\boldsymbol{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{\partial f}{\partial\mathcal E}\right)\gamma(\boldsymbol{k})\int\frac{d\boldsymbol{k}^{\prime}}{(2\pi)^3}\,W_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k}^{\prime}}[\gamma(\boldsymbol{k})-\gamma(\boldsymbol{k}^{\prime})]}. \tag{16.45} $$

其中 $\gamma$ 为任意函数。

(e)  假设 $W=W^{(1)}+W^{(2)}$。取 $\gamma$ 为 $u_x$，其中 $\boldsymbol{u}$ 是式 (16.38) 的解。设 $\sigma^{(1)}$ 和 $\sigma^{(2)}$ 分别为只有 $W^{(1)}$ 或 $W^{(2)}$ 存在时的电导率。将式 (16.45) 分别用于 $\sigma^{(1)}$ 和 $\sigma^{(2)}$，推导

$$ \frac{1}{\sigma_{xx}}\ge\frac{1}{\sigma_{xx}^{(1)}}+\frac{1}{\sigma_{xx}^{(2)}}. \tag{16.46} $$