谐性晶体的经典理论（Classical Theory of the Harmonic Crystal）

本文是「固体物理学」系列的第 22 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 22 章的中文译稿。

放宽离子静止在布拉菲格子格点 $\boldsymbol{R}$ 上这一人为假设时，我们将广泛依赖两个较弱的假设：

1. 我们假设每个离子的平均平衡位置都是一个布拉菲格点。这样，我们仍可将每个离子与一个特定的布拉菲格点 $\boldsymbol{R}$ 联系起来，离子绕该点振动；不过，现在格点 $\boldsymbol{R}$ 只是离子的平均位置，而不是其固定的瞬时位置。
2. 我们假设每个离子偏离平衡位置的典型位移与离子间距相比很小（其含义将在下文更精确地说明）。

假设 1 认为，尽管离子在运动，布拉菲格子依然存在，但它描述的是离子的平均构型，而不是瞬时构型，从而解释了观测到的固体晶体结构。注意，虽然这一假设容许多种可能的离子运动，却不容许离子扩散（ionic diffusion）：我们假设每个离子永远绕某一特定布拉菲格点 $\boldsymbol{R}$ 振动。除非离子互换平衡位置的可能性变得重要（例如，在熔点附近可能出现这种情况），这一假设并不十分苛刻。

然而，提出假设 2，并不是由于坚信它普遍成立，而是出于解析处理的需要。它导出一种简单的理论——谐近似——可以从中得出精确的定量结果。这些结果往往与观测到的固体性质极为吻合。不过，有些性质无法用谐性理论解释，要解释它们就必须采用非谐理论（anharmonic theory，第 25 章）。即使在这种情况下，计算方法仍隐含地依赖假设 2，只是以更复杂的方式利用它。当假设 2 确实失效时（固态氦似乎就是如此），从一开始就必须面对解析上极为复杂的理论，而沿着这一方向取得进展还是相当近的事。¹

根据假设 1，我们可以用离子围绕振动的布拉菲格点 $\boldsymbol{R}$，无歧义地标记每个离子。² 平均位置为 $\boldsymbol{R}$ 的离子的位置记为 $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})$（见图 22.1）。如果静态晶格近似（static lattice approximation）成立，即每个离子都静止在其布拉菲格点上，就有 $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})=\boldsymbol{R}$。然而，在更符合实际的情况下，$\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})$ 将偏离其平均值 $\boldsymbol{R}$，于是任意时刻都可写成：³

$$ \boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})=\boldsymbol{R}+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}), \tag{22.1} $$

图 22.1  (a) 由矢量 $\boldsymbol{R}$ 指定的布拉菲点格子。(b) 某一特定的离子瞬时构型。平均位置为 $\boldsymbol{R}$ 的离子位于 $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})$。

其中 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 是平衡格点为 $\boldsymbol{R}$ 的离子偏离平衡的位移。（见图 22.2。）

为了使讨论具体化，让我们在这一更广泛的框架内重新考察第 20 章对惰性气体内聚能（cohesive energy）的处理。我们仍假设，相隔 $\boldsymbol{r}$ 的一对原子对晶体势能的贡献为 $\phi(\boldsymbol{r})$，其中 $\phi$ 例如可以是 Lennard-Jones 势（Lennard-Jones potential）(20.2)。如果静态晶格模型正确，且每个原子都固定在其布拉菲格点上，那么晶体的总势能就是所有不同原子对的贡献之和：

$$ U=\frac12\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}\phi(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')=\frac N2\sum_{\boldsymbol{R}\ne0}\phi(\boldsymbol{R}). \tag{22.2} $$

不过，如果考虑到平均位置为 $\boldsymbol{R}$ 的原子通常位于 $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})\ne\boldsymbol{R}$，就必须将 (22.2) 换成

$$ U=\frac12\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}\phi(\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})-\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R}'))=\frac12\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}\phi(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}')). \tag{22.3} $$

因此，势能现在依赖于动力学变量 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$，我们必须处理由以下哈密顿量（Hamiltonian）支配的动力学（或统计力学）问题：⁴

图 22.2  布拉菲格子矢量 $\boldsymbol{R}$、绕 $\boldsymbol{R}$ 振动的离子的瞬时位置 $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})$，以及离子位移 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{R})-\boldsymbol{R}$ 之间的关系。

$$ H=\sum_{\boldsymbol{R}}\frac{\boldsymbol{P}(\boldsymbol{R})^2}{2M}+U, \tag{22.4} $$

其中 $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{R})$ 是平衡位置为 $\boldsymbol{R}$ 的原子的动量，$M$ 是原子质量。

谐近似

对于 Lennard-Jones 形式的对势（pair potential）$\phi$，从这一哈密顿量提取有用的精确信息，是一项困难得令人无望的任务。因此，我们采用一种近似，其依据是预期原子不会显著偏离其平衡位置。如果所有 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 都很小，⁵ 就可利用泰勒定理（Taylor's theorem）的三维形式，在平衡值附近展开势能 $U$：

$$ f(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})=f(\boldsymbol{r})+\boldsymbol{a}\cdot\nabla f(\boldsymbol{r})+\frac12(\boldsymbol{a}\cdot\nabla)^2f(\boldsymbol{r})+\frac1{3!}(\boldsymbol{a}\cdot\nabla)^3f(\boldsymbol{r})+\cdots. \tag{22.5} $$

将其应用于 (22.3) 的每一项，令 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'$、$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}')$，得到：

$$ \begin{aligned}U={}&\frac N2\sum\phi(\boldsymbol{R})+\frac12\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}(\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}'))\cdot\nabla\phi(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\\&+\frac14\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}[(\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}'))\cdot\nabla]^2\phi(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')+O(u^3).\end{aligned} \tag{22.6} $$

线性项中 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 的系数就是

$$ \sum_{\boldsymbol{R}'}\nabla\phi(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'). \tag{22.7} $$

然而，这恰好是所有其他原子均位于其平衡位置时，它们作用于 $\boldsymbol{R}$ 处原子的力的负值。因此它必须为零，因为平衡时任何原子所受的合力都为零。

由于 (22.6) 的线性项为零，平衡势能的第一个非零修正由二次项给出。在谐近似中，只保留这一项，势能写为

$$ U=U^{\mathrm{eq}}+U^{\mathrm{harm}}, \tag{22.8} $$

其中 $U^{\mathrm{eq}}$ 是平衡势能 (22.2)，且

$$ \begin{aligned}U^{\mathrm{harm}}&=\frac14\sum_{\substack{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'\\\mu,\nu=x,y,z}}[u_\mu(\boldsymbol{R})-u_\mu(\boldsymbol{R}')]\phi_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')[u_\nu(\boldsymbol{R})-u_\nu(\boldsymbol{R}')],\\\phi_{\mu\nu}(\boldsymbol{r})&=\frac{\partial^2\phi(\boldsymbol{r})}{\partial r_\mu\,\partial r_\nu}.\end{aligned} \tag{22.9} $$

由于 $U^{\mathrm{eq}}$ 只是一个常数（即与 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{P}$ 无关），在许多动力学问题中可以将其忽略；⁶ 因而人们常常将总势能视为只有 $U^{\mathrm{harm}}$，在不致造成歧义时，干脆省略上标。

谐近似是所有晶格动力学理论的出发点（固态氦或许例外）。$U$ 的进一步修正，尤其是关于 $\boldsymbol{u}$ 的三阶和四阶修正，称为非谐项（anharmonic terms）；正如第 25 章将讨论的，它们对于理解许多物理现象相当重要。通常将它们作为占主导地位的谐项上的小微扰（perturbations）来处理。

谐性势能通常不用 (22.9) 的形式，而写成更一般的形式

$$ U^{\mathrm{harm}}=\frac12\sum_{\substack{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'\\\mu\nu}}u_\mu(\boldsymbol{R})D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')u_\nu(\boldsymbol{R}'). \tag{22.10} $$

显然，(22.9) 具有这一结构，其中

$$ D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')=\delta_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}\sum_{\boldsymbol{R}''}\phi_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'')-\phi_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'). \tag{22.11} $$

绝热近似

除了形式更加紧凑以外，我们采用 (22.10) 而不是 (22.9)，还因为一般而言，离子间相互作用不能表示为 (22.3) 形式的简单对相互作用之和。事实上，除非在特别简单的情况下（例如惰性气体），(22.10) 中的量 $D$ 都相当难以计算。在离子晶体中，困难来自离子间库仑相互作用（Coulomb interaction）的长程性质。在共价晶体和金属中，困难更为深刻，因为离子运动与价电子（valence electrons）的运动不可分割地耦合在一起。这是因为在共价晶体和金属中，电子的分布，从而价电子对固体总能量的贡献，具体取决于离子实（ion cores）的特定排列。因此，当离子实偏离平衡位置而使固体发生形变时，电子波函数也随之变形；要精确推断这种变形可能相当困难。⁷

处理这一问题的方法是采用所谓的绝热近似。绝热近似的依据是，电子的典型速度远大于离子的典型速度。正如第 2 章所述，有关的电子速度为 $v_F\approx10^8$ cm/sec。另一方面，离子的典型速度至多为 $10^5$ cm/sec 量级。⁸ 因此，我们假设，由于与电子有关的速度尺度相比，离子运动十分缓慢，电子在任何时刻都处于与该特定离子瞬时构型对应的基态（ground state）。计算 (22.10) 中的力常数（force constants）时，就必须在离子实之间的相互作用之外，补充一些项，表示额外的电子能量对由 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 指定的离子瞬时构型的依赖。实际上，这可能相当难以实现；更实用的方法是将量 $D$ 看作经验参数（empirical parameters），由实验直接测定（第 24 章）。⁹

经典晶体的比热：杜隆—珀替定律（Law of Dulong and Petit）

放弃静态晶格近似之后，我们就不能再像第 20 章那样，仅仅假设每个离子静止在其布拉菲格点 $\boldsymbol{R}$ 上来计算平衡性质。现在必须对所有可能的离子构型取平均，给予每种构型或状态一个与 $e^{-E/k_BT}$ 成正比的权重，其中 $E$ 是该构型的能量。¹⁰ 因此，若将晶体按经典方式处理，其热能密度为

$$ u=\frac1V\frac{\int d\Gamma\,e^{-\beta H}H}{\int d\Gamma\,e^{-\beta H}},\qquad\beta=\frac1{k_BT}, \tag{22.12} $$

这里采用了简洁的记号，$d\Gamma$ 表示晶体相空间（phase space）中的体积元：

$$ d\Gamma=\prod_{\boldsymbol{R}}d\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})\,d\boldsymbol{P}(\boldsymbol{R})=\prod_{\boldsymbol{R},\mu}du_\mu(\boldsymbol{R})\,dp_\mu(\boldsymbol{R}). \tag{22.13} $$

还可将 (22.12) 写成更有用的形式：

$$ u=-\frac1V\frac\partial{\partial\beta}\ln\int d\Gamma\,e^{-\beta H}, \tag{22.14} $$

对 (22.14) 中的对数显式求导，即可验证这一结果。在谐近似中，通过以下变量变换，很容易得出 (22.14) 中积分对温度的依赖：

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})&=\beta^{-1/2}\overline{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{R}),&d\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})&=\beta^{-3/2}d\overline{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{R}),\\\boldsymbol{P}(\boldsymbol{R})&=\beta^{-1/2}\overline{\boldsymbol{P}}(\boldsymbol{R}),&d\boldsymbol{P}(\boldsymbol{R})&=\beta^{-3/2}d\overline{\boldsymbol{P}}(\boldsymbol{R}).\end{aligned} \tag{22.15} $$

于是，(22.14) 中的积分可写为

$$ \begin{aligned}\int d\Gamma\,e^{-\beta H}&=\int d\Gamma\,\exp\left[-\beta\left(\sum\frac{\boldsymbol{P}(\boldsymbol{R})^2}{2M}+U^{\mathrm{eq}}+U^{\mathrm{harm}}\right)\right]\\&=e^{-\beta U^{\mathrm{eq}}}\beta^{-3N}\left\{\int\prod_{\boldsymbol{R}}d\overline{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{R})\,d\overline{\boldsymbol{P}}(\boldsymbol{R})\right.\\&\quad\left.\times\exp\left[-\sum\frac1{2M}\overline{\boldsymbol{P}}(\boldsymbol{R})^2-\frac12\sum\overline u_\mu(\boldsymbol{R})D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\overline u_\nu(\boldsymbol{R}')\right]\right\}.\end{aligned} \tag{22.16} $$

(22.16) 花括号内的整个积分都与温度无关，因此将 (22.16) 代入 (22.14) 时，它对关于 $\beta$ 的导数没有贡献。于是热能简单地化为：

$$ u=-\frac1V\frac\partial{\partial\beta}\ln(e^{-\beta U^{\mathrm{eq}}}\beta^{-3N}\times\mathrm{const})=\frac{U^{\mathrm{eq}}}V+\frac{3N}Vk_BT \tag{22.17} $$

或¹¹

$$ u=u^{\mathrm{eq}}+3nk_BT. \tag{22.18} $$

注意，在 $T=0$ 时，这化为静态晶格理论的结果 $u=u^{\mathrm{eq}}$（正如忽略零点运动的经典理论所预期的那样）。在非零温度下，静态结果增加了一个简单的修正项 $3nk_BT$。即使在室温，$k_BT$ 也只有几个百分之一电子伏，因此这通常是一个小修正。考察比热 $c_v=(\partial u/\partial T)_v$ 更有用（它也比内能容易测量得多）。$u$ 中的静态晶格贡献不再出现在 $c_v$ 中，$c_v$ 完全由依赖温度的修正决定：¹²

$$ c_v=\frac{\partial u}{\partial T}=3nk_B. \tag{22.19} $$

由晶格振动产生的比热（即绝缘体的全部比热）恰为每个离子 $3k_B$，这一结果称为杜隆—珀替定律。在每摩尔含有 $6.022\times10^{23}$ 个离子的单原子固体中，最常见的表达形式为：¹³

$$ c_v^{\mathrm{molar}}=5.96\ \mathrm{cal/mole\text{-}K}. \tag{22.20} $$

图 22.3 给出了固态氩、氪和氙的比热测量值。在 100 K 量级及更高的温度下，实测比热与杜隆—珀替值相当接近。然而：

1. 随着温度降低，比热降至远低于杜隆—珀替值，并在温度趋于零时趋于零。
2. 即使温度升高，也相当明显地看出，曲线并未趋近精确的杜隆—珀替值。

图 22.3  氩、氙和氪的实测比热。水平线表示经典杜隆—珀替值。（引自 M. L. Klein、G. K. Horton 和 J. L. Feldman，Phys. Rev. 184, 68 (1969)。）

第 2 点可以完全从经典理论出发解释为谐近似的失效。根据经典理论，在很低的温度下，热能根本不足以使离子偏离平衡格点任何显著距离，因此谐近似随着温度降低而变得非常好。¹⁴ 不过，在较高温度下，离子拥有足够的能量，能够偏离平衡位置相当远，使被忽略的非谐项（即将 $U$ 按离子位移 $\boldsymbol{u}$ 的幂展开时，二次项以后的各项）变得重要。因此，经典统计力学表明，杜隆—珀替定律在高温下不必严格成立，但随着温度降低，应当越来越准确地满足。

因而，低温行为（第 1 点）完全无法用经典理论解释。解释晶格的低温比热需要量子理论；除了相当高的温度（从图 22.3 判断，为 $10^2$ K 量级），不能指望坚持纯经典图像的晶格动力学理论取得很大进展。¹⁵ 因此，我们必须转向晶格动力学的量子理论，来解释受晶格振动支配的物理现象。

尽管经典力学有这一显著的失败，在尝试建立量子理论之前，理解晶格振动的经典理论仍然至关重要。原因在于谐性哈密顿量的二次结构。由于它是位移 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 和动量 $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{R})$ 的二次式，它属于一般经典小振动问题的一个特例，可以精确求解。¹⁶ 在解中，$N$ 个离子的一般运动表示为 $3N$ 个振动简正模（normal modes）的叠加（或线性组合），每个简正模都有其特征频率 $\nu$。而量子理论的一个基本结果是：频率为 $\nu$ 的振子的允许能量为

$$ (n+\tfrac12)h\nu,\qquad n=0,1,2,\ldots. \tag{22.21} $$

将这一结果推广到 $3N$ 个独立振子是显然的：给每个振子赋予其频率与 $h$ 之积的一个半整数倍，再将各振子的贡献相加，就得到 $3N$ 振子系统的允许能量。在谐性晶体中，$3N$ 个简正模的频率提供了这样一组频率，由此可以构造出晶体的全部能级。¹⁷

因此，尽管纯经典的晶格振动理论显然不充分，分析离子晶格的经典简正模仍然十分有用。我们必须先考察晶体的经典简正模，才能修正杜隆—珀替定律，并进一步描述动态晶格的其他各种性质。因此，本章余下内容将研究经典谐性晶体。我们按以下几个阶段讨论这一问题：

1. 一维单原子布拉菲格子的简正模。
2. 带基元的一维晶格的简正模。
3. 三维单原子布拉菲格子的简正模。
4. 带基元的三维晶格的简正模。

原则上，四种情况的分析相同，但最一般的情况 (4) 中纯粹由记号带来的复杂性，往往会掩盖重要的物理方面；这些方面在较简单的情况下可以更清楚地显现。

本章最后将把这一分析与弹性连续介质（elastic continuous medium）的经典理论联系起来。

一维单原子布拉菲格子的简正模

考虑一组质量为 $M$ 的离子，沿一条直线分布在相距 $a$ 的各点上；因而，对于整数 $n$，一维布拉菲格子矢量就是 $\boldsymbol{R}=na$。令 $u(na)$ 表示绕 $na$ 振动的离子沿直线方向偏离平衡位置的位移（图 22.4）。为简单起见，我们假设只有相邻离子之间有相互作用，因此可取谐性势能 (22.9) 为

图 22.4  在任意时刻，平衡位置为 $na$ 的离子偏离平衡的位移为 $u(na)$。

$$ U^{\mathrm{harm}}=\frac12K\sum_n[u(na)-u([n+1]a)]^2, \tag{22.22} $$

（其中 $K=\phi''(a)$，$\phi(x)$ 是沿直线相隔距离 $x$ 的两个离子的相互作用能）。于是运动方程为

$$ M\ddot u(na)=-\frac{\partial U^{\mathrm{harm}}}{\partial u(na)}=-K[2u(na)-u([n-1]a)-u([n+1]a)]. \tag{22.23} $$

如果每个离子都通过劲度系数（spring constant）为 $K$ 的理想无质量弹簧与它的两个邻近离子相连，所满足的正是这些方程（弹簧的平衡长度为 $a$，不过这些方程实际上与弹簧的平衡长度无关）。借助这样的模型（图 22.5），最容易直观地理解由此产生的运动。

图 22.5  若只保留最近邻力，一维布拉菲格子的谐近似就描述了一个模型，其中每个离子都通过理想弹簧与邻近离子相连。

如果离子链中的离子数只是有限的 $N$，就必须规定如何描述两端的离子。可以让它们只与内侧的邻近离子相互作用，但这样会使分析复杂化，而不会实质性地改变最终结果。因为如果 $N$ 很大，并且我们不关心端部效应（end effects），那么如何具体处理两端离子就无关紧要，可以根据数学上的便利选择方法。与电子气（第 2 章）的情况一样，最方便的选择无疑是玻恩—冯·卡门周期性边界条件（Born-von Karman periodic boundary condition）。对于离子直线链，这一边界条件很容易规定：只需再用一根与连接内部离子相同的弹簧，将链的两个远端连起来（图 22.6）。如果离子占据格点 $a$、$2a$、…、$Na$，就可以用式 (22.23) 描述 $N$ 个离子中的每一个（$n=1,2,\ldots,N$），只要将 $u(Na)$ 和 $u(a)$ 的运动方程中分别出现的量 $u([N+1]a)$ 和 $u(0)$ 解释为¹⁸

校对注：原文运动方程引用误写为（22.22），本轮改为（22.23）。

$$ u([N+1]a)=u(a);\qquad u(0)=u(Na). \tag{22.24} $$

图 22.6  直线链的玻恩—冯·卡门边界条件，即周期性边界条件。

图 22.7  玻恩—冯·卡门边界条件的另一种表示。将最左端离子与最右端弹簧相连的物体，是一根长度为 $L=Na$ 的无质量刚杆。我们寻求 (22.23) 的如下形式的解：

$$ u(na,t)\propto e^{i(kna-\omega t)}. \tag{22.25} $$

周期性边界条件 (22.24) 要求

$$ e^{ikNa}=1, \tag{22.26} $$

这又要求 $k$ 具有以下形式：

$$ k=\frac{2\pi}a\frac nN,\qquad n\text{ 为整数}. \tag{22.27} $$

注意，若将 $k$ 改变 $2\pi/a$，由 (22.25) 定义的位移 $u(na)$ 不变。因此，恰有 $N$ 个与 (22.27) 相符的 $k$ 值给出不同的解。我们取这些值位于 $-\pi/a$ 与 $\pi/a$ 之间。¹⁹

将 (22.25) 代入 (22.23)，得到

$$ \begin{aligned}-M\omega^2e^{i(kna-\omega t)}&=-K[2-e^{-ika}-e^{ika}]e^{i(kna-\omega t)}\\&=-2K(1-\cos ka)e^{i(kna-\omega t)},\end{aligned} \tag{22.28} $$

因此，对于给定的 $k$，只要 $\omega=\omega(k)$ 就有一个解，其中

$$ \omega(k)=\sqrt{\frac{2K(1-\cos ka)}M}=2\sqrt{\frac KM}|\sin\tfrac12ka|. \tag{22.29} $$

描述实际离子位移的解由 (22.25) 的实部或虚部给出：

$$ u(na,t)\propto\left\{\begin{matrix}\cos(kna-\omega t)\\\sin(kna-\omega t)\end{matrix}\right\}. \tag{22.30} $$

由于 $\omega$ 是 $k$ 的偶函数，只取 (22.29) 中的正根就足够了，因为由 $k$ 和 $-\omega(k)$ 决定的解 (22.30)，与由 $-k$ 和 $\omega(k)=\omega(-k)$ 决定的解相同。于是有 $N$ 个不同的 $k$ 值，每个对应唯一的频率 $\omega(k)$，所以式 (22.30) 给出 $2N$ 个独立解。²⁰ 指定离子的 $N$ 个初始位置和 $N$ 个初始速度，就确定了链的任意运动。由于这些初始条件总能用 $2N$ 个独立解 (22.30) 的线性组合来满足，我们已经得到了这一问题的完整解。

校对注：零频的 $k=0$ 模须单独处理：均匀平移为 $u=A+Bt$。式（22.30）的零频正弦函数恒为零，不能提供这一模的两个独立初始条件。

解 (22.30) 描述沿链传播的波，其相速度（phase velocity）为 $c=\omega/k$，群速度（group velocity）为 $v=\partial\omega/\partial k$。图 22.8 给出了频率 $\omega$ 随波矢（wave vector）$k$ 的变化曲线。这种曲线称为色散曲线（dispersion curve）。当 $k$ 与 $\pi/a$ 相比很小（即波长与粒子间距相比很大）时，$\omega$ 与 $k$ 呈线性关系：

$$ \omega=\left(a\sqrt{\frac KM}\right)|k|. \tag{22.31} $$

这是我们在光波和普通声波中所熟悉的行为。如果 $\omega$ 与 $k$ 呈线性关系，那么群速度就等于

图 22.8  只有最近邻相互作用的单原子直线链的色散曲线。注意，$k$ 很小时 $\omega$ 呈线性关系，而在区的边界（$k=\pm\pi/a$）处，$\partial\omega/\partial k$ 为零。

校对注：原书图 22.8 与图 22.14 的图像互置；中文版按模型与色散公式对调图像，使图 22.8 对应单原子链。

相速度，且两者都与频率无关。然而，离散介质中波的一个特征是：当波长短至与粒子间距相当时，线性关系不再成立。在当前情况下，随着 $k$ 增大，$\omega$ 降至 $ck$ 以下；当 $k$ 达到 $\pm\pi/a$ 时，色散曲线实际上变平（即群速度降为零）。

如果放弃只有最近邻相互作用的假设，这些结果几乎不变。$\omega$ 对 $k$ 的函数依赖会变得更复杂，但对于 $N$ 个允许的 $k$ 值，仍得到 $N$ 个 (22.25) 形式的简正模。此外，当 $k$ 与 $\pi/a$ 相比很小时，角频率（angular frequency）$\omega(k)$ 仍与 $k$ 呈线性关系，并且在 $k=\pm\pi/a$ 处满足 $\partial\omega/\partial k=0$。²¹

带基元的一维晶格的简正模

接下来考虑每个原胞含有两个离子的一维布拉菲格子，其平衡位置分别为 $na$ 和 $na+d$。我们取这两个离子相同，但取 $d\le a/2$，所以邻近离子之间的力取决于它们的间距是 $d$ 还是 $a-d$（图 22.9）。²² 为简单起见，我们再次假设只有最近邻

图 22.9  由相同原子组成的双原子直线链，各原子通过强弱交替的弹簧相连。之间相互作用，而且相隔 $d$ 的原子对之间的力，比相隔 $a-d$ 的原子对之间的力更强（因为 $a-d$ 大于 $d$）。于是，谐性势能 (22.9) 可写为：

$$ U^{\mathrm{harm}}=\frac K2\sum_n[u_1(na)-u_2(na)]^2+\frac G2\sum_n[u_2(na)-u_1([n+1]a)]^2, \tag{22.32} $$

其中，$u_1(na)$ 表示绕格点 $na$ 振动的离子的位移，$u_2(na)$ 表示绕 $na+d$ 振动的离子的位移。与所选的 $d\le a/2$ 一致，我们也取 $K\ge G$。

运动方程为

$$ \begin{aligned}M\ddot u_1(na)&=-\frac{\partial U^{\mathrm{harm}}}{\partial u_1(na)}\\&=-K[u_1(na)-u_2(na)]-G[u_1(na)-u_2([n-1]a)],\\M\ddot u_2(na)&=-\frac{\partial U^{\mathrm{harm}}}{\partial u_2(na)}\\&=-K[u_2(na)-u_1(na)]-G[u_2(na)-u_1([n+1]a)].\end{aligned} \tag{22.33} $$

我们再次寻求表示角频率为 $\omega$、波矢为 $k$ 的波的解：

$$ \begin{aligned}u_1(na)&=\epsilon_1e^{i(kna-\omega t)},\\u_2(na)&=\epsilon_2e^{i(kna-\omega t)}.\end{aligned} \tag{22.34} $$

这里，$\epsilon_1$ 和 $\epsilon_2$ 是待定常数，它们的比值将确定每个原胞内离子振动的相对振幅和相位。与单原子情况一样，玻恩—冯·卡门周期性边界条件再次给出 (22.27) 中的 $N$ 个不等价的 $k$ 值。

将 (22.34) 代入 (22.33)，并从两个方程中约去公因子 $e^{i(kna-\omega t)}$，得到两个耦合方程：

$$ \begin{aligned}[M\omega^2-(K+G)]\epsilon_1+(K+Ge^{-ika})\epsilon_2&=0,\\(K+Ge^{ika})\epsilon_1+[M\omega^2-(K+G)]\epsilon_2&=0.\end{aligned} \tag{22.35} $$

只要系数行列式为零，这对齐次方程就有解：

$$ [M\omega^2-(K+G)]^2=|K+Ge^{-ika}|^2=K^2+G^2+2KG\cos ka. \tag{22.36} $$

式 (22.36) 对满足下式的两个正 $\omega$ 值成立：

$$ \omega^2=\frac{K+G}M\pm\frac1M\sqrt{K^2+G^2+2KG\cos ka}, \tag{22.37} $$

其中

$$ \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}=\mp\frac{K+Ge^{ika}}{|K+Ge^{ika}|}. \tag{22.38} $$

因此，对于 $N$ 个 $k$ 值中的每一个，都有两个解，总共得到 $2N$ 个简正模，恰好对应 $2N$ 个自由度（每个 $N$ 个原胞中有两个离子）。这两条 $\omega$ 随 $k$ 变化的曲线称为色散关系（dispersion relation）的两个分支（branches），如图 22.10 所示。较低的分支与单原子布拉菲格子中得到的单一分支具有相同的结构：$k$ 很小时，$\omega$ 随 $k$ 线性趋于零，曲线在布里渊区边缘变平。这一分支称为声学支（acoustic branch），因为在 $k$ 很小时，其色散关系具有声波所特有的 $\omega=ck$ 形式。第二个分支在 $k=0$ 时从 $\omega=\sqrt{2(K+G)/M}$ 开始，随着 $k$ 增大而下降，在区边缘降至 $\sqrt{2K/M}$。这一分支称为光学支（optical branch），因为离子晶体中的长波长光学模可以与电磁辐射相互作用，且这类晶体的许多特征光学行为都由它们产生（第 27 章）。

图 22.10  双原子直线链的色散关系。较低的分支是声学支，与单原子情况中出现的单一分支（图 22.8）具有相同的结构。此外，现在还有一个光学支（较高的分支）。

更详细地考察一些特殊情况，可以对这两个分支的性质有所了解：

情况 1  $k\ll\pi/a$  此时 $\cos ka\approx1-(ka)^2/2$；取 $k$ 的最低阶，根为：

$$ \omega=\sqrt{\frac{2(K+G)}M}-O(ka)^2, \tag{22.39} $$

$$ \omega=\sqrt{\frac{KG}{2M(K+G)}}(ka). \tag{22.40} $$

当 $k$ 很小时，(22.38) 化为 $\epsilon_2=\mp\epsilon_1$。下方的符号对应声学模，描述原胞内两个离子同相运动的情况（图 22.11）。上方的符号对应高频光学模，描述原胞内两个原子的相位相差 $180^\circ$ 的运动。

图 22.11  双原子直线链的长波长声学模 (a) 和光学模 (b)。原胞包含由 $K$ 弹簧连接的两个离子，该弹簧以锯齿线表示。在两种情况下，每个原胞的运动都相同，但在声学模中，原胞内离子一起运动，而在光学模中，它们的相位相差 $180^\circ$。

情况 2  $k=\pi/a$  此时根为

$$ \omega=\sqrt{\frac{2K}M},\qquad\epsilon_1=-\epsilon_2; \tag{22.41} $$

$$ \omega=\sqrt{\frac{2G}M},\qquad\epsilon_1=\epsilon_2. \tag{22.42} $$

当 $k=\pi/a$ 时，相邻原胞的运动相位相差 $180^\circ$，所以这两个解必定如图 22.12 所示。在每一种情况下，都只有一种弹簧被拉伸。注意，如果两个弹簧的劲度系数相同，$k=\pi/a$ 处的两个频率之间就不会有间隙。原因从图 22.12 中可以清楚地看出。

图 22.12  在布里渊区边缘，即 $k=\pm\pi/a$ 时，双原子直线链的声学模 (a) 和光学模 (b)。现在，相位从一个原胞到下一个原胞改变 $180^\circ$。不过，与图 22.11 一样，声学模中每个原胞内的离子同相运动，而光学模中相位相差 $180^\circ$。注意，如果 $K$ 弹簧与 $G$ 弹簧相同，两种情况下的运动就会相同。这就是在 $K=G$ 时，两个分支在区边缘简并（degenerate）的原因。

情况 3  $K\gg G$  取 $G/K$ 的最低阶，有：

$$ \omega=\sqrt{\frac{2K}M}\left[1+O\left(\frac GK\right)\right],\qquad\epsilon_1\approx-\epsilon_2; \tag{22.43} $$

$$ \omega=\sqrt{\frac{2G}M}|\sin\tfrac12ka|\left[1+O\left(\frac GK\right)\right],\qquad\epsilon_1\approx\epsilon_2. \tag{22.44} $$

取 $G/K$ 的最低阶时，光学支的频率现在与 $k$ 无关，且等于由两个质量为 $M$ 的离子通过弹簧 $K$ 相连而组成的单个双原子分子的振动频率。与每个原胞内独立分子振动的这一图像一致，无论简正模的波长是多少，每个原胞内原子运动的相位都相差 $180^\circ$（取 $G/K$ 的最低阶）。由于 $G/K$ 不为零，这些分子振动之间存在很弱的耦合；结果是，随着 $k$ 遍历布里渊区，光学带的频率产生 $G/K$ 量级的小幅展宽。²³

声学支 (22.44)（取 $G/K$ 的最低阶）恰好就是质量为 $2M$ 的原子通过弱弹簧 $G$ 耦合而成的直线链的声学支（比较 (22.44) 与 (22.29)）。这与 $\epsilon_1=\epsilon_2$ 一致：也就是说，每个原胞内原子同相运动，强 $K$ 弹簧几乎完全不被拉伸。

这一情况提示我们，可如下描述光学支与声学支的区别：²⁴ 在声学模中，原胞内所有离子基本上作为一个整体同相运动，其动力学由原胞间的相互作用主导；而在光学模中，每个原胞内离子所作的运动本质上是分子振动模，由于原胞间的相互作用而展宽成一个频带。

情况 4  $K=G$  在这种情况下，我们实际上处理的是晶格常数（lattice constant）为 $a/2$ 的单原子布拉菲格子，前一节的分析可以直接应用。不过，考察在 $K\to G$ 的极限下如何得出那一分析，仍然很有启发性。这就是习题 3 的内容。

单原子三维布拉菲格子的简正模

现在考虑一般的三维谐性势能（式 (22.10)）。为了避免被众多指标弄得眼花缭乱，通常采用矩阵记号（matrix notation）更为方便，将以下这样的量

$$ \sum_{\mu\nu}u_\mu(\boldsymbol{R})D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')u_\nu(\boldsymbol{R}') \tag{22.45} $$

写成 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 与另一个矢量的乘积；后者是矩阵 $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')$ 作用于矢量 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}')$ 所得到的。采用这一约定，谐性势能 (22.10) 可写为：

$$ U^{\mathrm{harm}}=\frac12\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}'). \tag{22.46} $$

讨论晶体的简正模时，利用矩阵 $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')$ 必须满足的一些一般对称性很有帮助，这些对称性与离子间力的具体形式无关。

对称性 1（Symmetry 1）

$$ D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')=D_{\nu\mu}(\boldsymbol{R}'-\boldsymbol{R}). \tag{22.47} $$

由于 $D$ 是二次型（quadratic form）(22.10) 的系数，总可以选取它们使其具有这一对称性。也可以从 $D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')$ 作为精确相互作用势的二阶导数的一般定义得出这一点：

$$ D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')=\left.\frac{\partial^2U}{\partial u_\mu(\boldsymbol{R})\,\partial u_\nu(\boldsymbol{R}')}\right|_{\boldsymbol{u}\equiv0}, \tag{22.48} $$

因为求导次序无关紧要。

对称性 2

$$ D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')=D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}'-\boldsymbol{R})\quad\text{或}\quad\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R})=\boldsymbol{D}(-\boldsymbol{R}), \tag{22.49} $$

或者，利用 (22.47)，

$$ D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')=D_{\nu\mu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'). \tag{22.50} $$

这一对称性源于每个布拉菲格子都具有反演对称性（inversion symmetry）。这意味着：在一种构型中，与格点 $\boldsymbol{R}$ 对应的离子的位移为 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$，其能量必须等于另一种构型的能量，后者中与格点 $\boldsymbol{R}$ 对应的离子的位移为 $-\boldsymbol{u}(-\boldsymbol{R})$。²⁵ 式 (22.49) 正是对于任意 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 值，作此替换（$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})\to-\boldsymbol{u}(-\boldsymbol{R})$）后 (22.45) 保持不变的条件。

对称性 3

$$ \sum_{\boldsymbol{R}}D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R})=0\quad\text{或}\quad\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R})=0. \tag{22.51} $$

这是因为，如果每个离子都相对于平衡位置作相同的位移 $\boldsymbol{d}$（即 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})\equiv\boldsymbol{d}$），整个晶体就只会发生平移，而不产生内部形变，$U^{\mathrm{harm}}$ 将与所有 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 都为零时具有相同的值，即零：

$$ 0=\sum_{\substack{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'\\\mu\nu}}d_\mu D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')d_\nu=\sum_{\mu\nu}Nd_\mu d_\nu\left(\sum_{\boldsymbol{R}}D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R})\right). \tag{22.52} $$

关系式 (22.51) 正是对于任意选择的矢量 $\boldsymbol{d}$，(22.52) 为零的条件。

有了这些对称性，我们可以按以下方式进行：

共有 $3N$ 个运动方程（$N$ 个离子位移的三个分量各对应一个方程）：

$$ M\ddot u_\mu(\boldsymbol{R})=-\frac{\partial U^{\mathrm{harm}}}{\partial u_\mu(\boldsymbol{R})}=-\sum_{\boldsymbol{R}'\nu}D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')u_\nu(\boldsymbol{R}'), \tag{22.53} $$

或者，用矩阵记号表示为

$$ M\ddot{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{R})=-\sum_{\boldsymbol{R}'}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}'). \tag{22.54} $$

与一维情况一样，我们寻求运动方程的简单平面波（plane waves）形式的解：

$$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{R},t)=\boldsymbol{\epsilon} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}-\omega t)}. \tag{22.55} $$

这里，$\boldsymbol{\epsilon}$ 是一个待定矢量，描述离子运动的方向，称为简正模的极化矢量（polarization vector）。

我们继续采用玻恩—冯·卡门周期性边界条件，要求对于三个基矢（primitive vectors）$\boldsymbol{a}_i$ 中的每一个，都有 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}+N_i\boldsymbol{a}_i)=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$，其中 $N_i$ 是满足 $N=N_1N_2N_3$ 的大整数。这将允许的波矢 $\boldsymbol{k}$ 限制为以下形式：²⁶

$$ \boldsymbol{k}=\frac{n_1}{N_1}\boldsymbol{b}_1+\frac{n_2}{N_2}\boldsymbol{b}_2+\frac{n_3}{N_3}\boldsymbol{b}_3,\qquad n_i\text{ 为整数}, \tag{22.56} $$

其中 $\boldsymbol{b}_i$ 是满足 $\boldsymbol{b}_i\cdot\boldsymbol{a}_j=2\pi\delta_{ij}$ 的倒格子矢量（reciprocal lattice vectors）。与一维情况的讨论一样，只有位于倒格子单个原胞内的 $\boldsymbol{k}$ 才会给出不同的解；也就是说，如果在 (22.55) 中的 $\boldsymbol{k}$ 上加一个倒格子矢量 $\boldsymbol{K}$，所有离子的位移都完全不变，因为倒格子矢量具有基本性质 $e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{R}}\equiv1$。因此，恰有 $N$ 个 (22.56) 形式的不等价 $\boldsymbol{k}$ 值，可以选取它们位于倒格子的任意一个原胞内。通常将这一原胞取为第一布里渊区较为方便。

将 (22.55) 代入 (22.54)，只要 $\boldsymbol{\epsilon}$ 是以下三维本征值问题（eigenvalue problem）的本征矢量（eigenvector），就得到一个解：

$$ M\omega^2\boldsymbol{\epsilon}=\boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})\boldsymbol{\epsilon}. \tag{22.57} $$

这里，$\boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})$ 称为动力学矩阵（dynamical matrix），由下式给出：

$$ \boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})=\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R})e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}. \tag{22.58} $$

对于 $N$ 个允许的 $\boldsymbol{k}$ 值中的每一个，(22.57) 的三个解给出总共 $3N$ 个简正模。讨论这些解时，将 $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R})$ 的对称性转化为 $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})$ 相应的对称性很有用。由 (22.49) 和 (22.51) 可知，$\boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})$ 可写成：

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})&=\frac12\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R})[e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}+e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}-2]\\&=\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R})[\cos(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R})-1]\\&=-2\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R})\sin^2(\tfrac12\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}).\end{aligned} \tag{22.59} $$

式 (22.59) 明确表明，$\boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})$ 是 $\boldsymbol{k}$ 的偶函数，且是实矩阵。此外，式 (22.50) 意味着 $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})$ 是对称矩阵。矩阵代数中的一个定理指出，每个实对称三维矩阵都具有三个实本征矢量 $\boldsymbol{\epsilon}_1$、$\boldsymbol{\epsilon}_2$、$\boldsymbol{\epsilon}_3$，它们满足

$$ \boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})\boldsymbol{\epsilon}_s(\boldsymbol{k})=\lambda_s(\boldsymbol{k})\boldsymbol{\epsilon}_s(\boldsymbol{k}), \tag{22.60} $$

并可归一化（normalized），使得

$$ \boldsymbol{\epsilon}_s(\boldsymbol{k})\cdot\boldsymbol{\epsilon}_{s'}(\boldsymbol{k})=\delta_{ss'},\qquad s,s'=1,2,3. \tag{22.61} $$

显然，波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的三个简正模具有极化矢量 $\boldsymbol{\epsilon}_s(\boldsymbol{k})$ 和频率 $\omega_s(\boldsymbol{k})$，后者由下式给出：²⁷

$$ \omega_s(\boldsymbol{k})=\sqrt{\frac{\lambda_s(\boldsymbol{k})}M}. \tag{22.62} $$

在一维单原子布拉菲格子中，我们发现，在 $k$ 很小时，$\omega(k)$ 随 $k$ 线性趋于零。在三维单原子布拉菲格子中，三个分支中的每一个仍然如此。这可以从式 (22.59) 得出：对于连接具有显著相互作用的离子格点的所有 $\boldsymbol{R}$，如果 $\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}$ 都很小，就可将正弦近似为²⁸

$$ \sin^2(\tfrac12\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R})\approx(\tfrac12\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R})^2 \tag{22.63} $$

因此

$$ \boldsymbol{D}(\boldsymbol{k})\approx-\frac{k^2}2\sum_{\boldsymbol{R}}(\hat{\boldsymbol{k}}\cdot\boldsymbol{R})^2\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R}),\qquad\hat{\boldsymbol{k}}=\frac{\boldsymbol{k}}k. \tag{22.64} $$

从而在长波长（小 $k$）极限下，可写成

$$ \omega_s(\boldsymbol{k})=c_s(\hat{\boldsymbol{k}})k, \tag{22.65} $$

其中 $c_s(\hat{\boldsymbol{k}})$ 是以下矩阵本征值的平方根：

$$ -\frac1{2M}\sum_{\boldsymbol{R}}(\hat{\boldsymbol{k}}\cdot\boldsymbol{R})^2\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R}). \tag{22.66} $$

注意，一般而言，$c_s$ 不仅依赖分支指标 $s$，还依赖波的传播方向 $\hat{\boldsymbol{k}}$。

三维单原子布拉菲格子的典型色散曲线如图 22.13 所示。

图 22.13  (a) 单原子布拉菲格子简正模频率的典型色散曲线。曲线对应于铅（面心立方），以重复区方案（repeated-zone scheme）沿 (b) 中阴影三角形的边绘出。注意，在 [100] 方向上，两个横向分支简并。（据 Brockhouse 等，Phys. Rev. 128, 1099 (1962)。）

在三维情况下，不仅要考察频率 $\omega_s(\boldsymbol{k})$ 的行为，还必须考察极化矢量 $\boldsymbol{\epsilon}_s(\boldsymbol{k})$ 的方向与传播方向 $\boldsymbol{k}$ 之间的关系。在各向同性介质（isotropic medium）中，对于给定的 $\boldsymbol{k}$，总可以选择三个解，使一个分支（纵向分支，longitudinal branch）沿传播方向极化（$\boldsymbol{\epsilon}\parallel\boldsymbol{k}$），另外两个分支（横向分支，transverse branches）垂直于传播方向极化（$\boldsymbol{\epsilon}\perp\boldsymbol{k}$）。

在各向异性晶体（anisotropic crystal）中，极化矢量与传播方向之间的关系未必如此简单，除非 $\boldsymbol{k}$ 在晶体的适当对称操作（symmetry operations）下保持不变。例如，如果 $\boldsymbol{k}$ 沿三重、四重或六重旋转轴（rotation axis），那么一个模沿 $\boldsymbol{k}$ 极化，另两个模垂直于 $\boldsymbol{k}$ 极化（且频率简并）。²⁹ 此时仍可使用各向同性介质的命名，称它们为纵向分支和横向分支。在高对称性晶体（例如立方晶体）中，这种对称方向相当常见；由于极化矢量是 $\boldsymbol{k}$ 的连续函数，当 $\boldsymbol{k}$ 沿对称方向时为纵向的分支，即使 $\boldsymbol{k}$ 不沿对称方向，其极化矢量也往往相当接近 $\boldsymbol{k}$ 的方向。同样，当 $\boldsymbol{k}$ 沿对称方向时为横向的分支，即使 $\boldsymbol{k}$ 沿一般方向，其极化方向也不会偏离垂直于 $\boldsymbol{k}$ 的平面太远。因此，人们仍称它们为纵向分支和横向分支，尽管只有在 $\boldsymbol{k}$ 的特殊方向上，它们才严格是纵向或横向的。

带基元的三维晶格的简正模

带基元的三维晶格的计算，与刚才描述的情况并没有足够大的差别，因而不必重复。与一维情况一样，引入多原子基元（polyatomic basis）的主要效应是产生光学支。为了指定所指的是基元中的哪个离子，需要引入一个指标，这使描述在记号上更复杂。分析的主要结果，大体上就是对已经考察过的情况所作的显然推广：

对于每个 $\boldsymbol{k}$ 值，有 $3p$ 个简正模，其中 $p$ 是基元中的离子数。频率 $\omega_s(\boldsymbol{k})$（$s=1,\ldots,3p$）都是 $\boldsymbol{k}$ 的函数，且具有倒格子的周期性；这对应于如下事实：波矢 $\boldsymbol{k}$ 相差倒格子矢量 $\boldsymbol{K}$ 的平面波，描述相同的晶格波。

$3p$ 个分支中有三个是声学支，即它们所描述的振动在长波长极限下，频率随 $k$ 线性趋于零。其余 $3(p-1)$ 个分支是光学支，即它们的频率在长波长极限下不趋于零。可将这些模看作 $p$ 原子分子的三个平移自由度及 $3(p-1)$ 个振动自由度在晶体情况下的推广。$p=2$ 情况下的典型色散曲线如图 22.14 所示。

简正模的极化矢量不再满足像 (22.61) 那样简单的正交关系（orthogonality relations）。若在简正模 $s$ 中，$\boldsymbol{R}$ 周围原胞内离子 $i$ 的位移为

$$ \boldsymbol{u}_s^i(\boldsymbol{R},t)=\operatorname{Re}[\boldsymbol{\epsilon}_s^i(\boldsymbol{k})e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}-\omega_s(\boldsymbol{k})t)}], \tag{22.67} $$

则可以证明，可选取极化矢量使其满足 $3p$ 个广义正交关系：

$$ \sum_{i=1}^p\boldsymbol{\epsilon}_s^{i*}(\boldsymbol{k})\cdot\boldsymbol{\epsilon}_{s'}^i(\boldsymbol{k})M_i=\delta_{ss'}, \tag{22.68} $$

图 22.14  带双离子基元的晶格，沿 $\boldsymbol{k}$ 空间一般方向的典型色散曲线。较低的三条曲线（声学支）在 $k$ 很小时与 $k$ 呈线性关系。如果原胞内部相互作用远强于原胞之间的相互作用，较高的三条曲线（光学支）就会相当平坦。注意，由于不存在简并，$\boldsymbol{k}$ 的方向不是高对称方向。

校对注：本图使用原书第 433 页的六分支图像，对应三条声学支和三条光学支；与图 22.8 的单分支图像对调。

其中 $M_i$ 是第 $i$ 类基元离子的质量。一般而言，极化矢量未必是实的，³⁰ 正交关系 (22.68) 也没有简单的一般几何解释。

与弹性理论的联系（Connection with the Theory of Elasticity）

经典弹性理论忽略固体的微观原子结构，将其视为连续体（continuum）。固体的一般形变用连续位移场（displacement field）$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ 描述，它规定了平衡时位于 $\boldsymbol{r}$ 的那部分固体的矢量位移。理论的基本假设是，固体在 $\boldsymbol{r}$ 点的能量密度贡献，只依赖于 $\boldsymbol{r}$ 紧邻区域内 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ 的值；更准确地说，只依赖于 $\boldsymbol{r}$ 点处 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ 的一阶导数。

只考虑在由离子间力的作用范围所确定的尺度上缓慢变化的晶格形变，就可从晶格振动理论导出连续体弹性理论。还必须假设，每个原胞内基元离子的形变，可以完全用规定整个原胞位移的矢量场 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ 来指定。为简单起见，我们将讨论限制于单原子布拉菲格子，在这种情况下，这一假设显然成立。

为了导出经典弹性理论，首先注意到，对称性 (22.49) 和 (22.51) 允许将谐性势能 (22.10) 写成：

$$ U^{\mathrm{harm}}=-\frac14\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}\{\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}')-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})\}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\{\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}')-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})\}. \tag{22.69} $$

我们只考虑从一个原胞到下一个原胞变化非常微小的位移 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$。于是可以考虑光滑的连续函数 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$，它在 $\boldsymbol{r}$ 为布拉菲格点时等于 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$。如果 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ 在 $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')$ 的作用范围内变化很小，就可以采用非常好的近似（在扰动波长非常长的极限下变得精确），作如下替换：

$$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}')=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})+(\boldsymbol{R}'-\boldsymbol{R})\cdot\left.\nabla\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})\right|_{\boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}} \tag{22.70} $$

将其用于 (22.69)，得到

$$ U^{\mathrm{harm}}=\frac12\sum_{\boldsymbol{R},\mu\nu\sigma\tau}\left(\frac\partial{\partial x_\sigma}u_\mu(\boldsymbol{R})\right)\left(\frac\partial{\partial x_\tau}u_\nu(\boldsymbol{R})\right)E_{\sigma\mu\tau\nu}. \tag{22.71} $$

量 $E_{\sigma\mu\tau\nu}$ 构成一个四阶张量（tensor of the fourth rank），由 $\boldsymbol{D}$ 给出如下：³¹

$$ E_{\sigma\mu\tau\nu}=-\frac12\sum_{\boldsymbol{R}}R_\sigma D_{\mu\nu}(\boldsymbol{R})R_\tau. \tag{22.72} $$

由于 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ 缓慢变化，也可以将 (22.71) 写成积分：

$$ U^{\mathrm{harm}}=\frac12\sum_{\substack{\sigma\tau\\\mu\nu}}\int d\boldsymbol{r}\left(\frac\partial{\partial x_\sigma}u_\mu(\boldsymbol{r})\right)\left(\frac\partial{\partial x_\tau}u_\nu(\boldsymbol{r})\right)\overline E_{\sigma\mu\tau\nu}, \tag{22.73} $$

其中

$$ \overline E_{\sigma\mu\tau\nu}=\frac1v E_{\sigma\mu\tau\nu}, \tag{22.74} $$

$v$ 是原胞的体积。

式 (22.73) 是经典弹性理论分析的出发点。我们进一步讨论这一问题，以找出理论所利用的张量 $E_{\sigma\mu\tau\nu}$ 的对称性。

首先注意，由 (22.72) 和 (22.50) 可直接看出，交换（$\mu\leftrightarrow\nu$）或交换（$\sigma\leftrightarrow\tau$）均不改变 $E_{\sigma\mu\tau\nu}$。因此，只需指定指标对 $\mu\nu$ 的以下六个值：

$$ xx,\quad yy,\quad zz,\quad yz,\quad zx,\quad xy \tag{22.75} $$

以及指标对 $\sigma\tau$ 的相同六个值所对应的 $E_{\sigma\mu\tau\nu}$。这表明，需要 $6\times6=36$ 个独立数值来规定给定形变的能量。进一步的一般论证将其数目减少到 21；利用所研究的特定晶体的对称性，还可以继续减少。

独立弹性常数数目的进一步减少（Further Reduction in the Number of Independent Elastic Constants）

晶体的能量不受刚性旋转影响。不过，绕通过原点的轴 $\hat{\boldsymbol{n}}$ 旋转无穷小角 $\delta\omega$ 时，每个布拉菲格子矢量都将产生以下位移：

$$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})=\delta\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{R},\qquad\delta\boldsymbol{\omega}=\delta\omega\hat{\boldsymbol{n}}. \tag{22.76} $$

将 (22.76) 代入 (22.71)，对于任意 $\delta\boldsymbol{\omega}$，都必须得到 $U^{\mathrm{harm}}=0$。不难证明，这意味着 $U^{\mathrm{harm}}$ 只能通过以下对称组合（应变张量，strain tensor）依赖导数 $(\partial/\partial x_\sigma)u_\mu$：

$$ \varepsilon_{\sigma\mu}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x_\sigma}u_\mu+\frac\partial{\partial x_\mu}u_\sigma\right). \tag{22.77} $$

因此，可以将 (22.73) 改写为

$$ U^{\mathrm{harm}}=\frac12\int d\boldsymbol{r}\left[\sum_{\substack{\sigma\mu\\\tau\nu}}\varepsilon_{\sigma\mu}c_{\sigma\mu\tau\nu}\varepsilon_{\tau\nu}\right], \tag{22.78} $$

其中

$$ c_{\sigma\mu\tau\nu}=-\frac1{8v}\sum_{\boldsymbol{R}}[R_\sigma D_{\mu\nu}R_\tau+R_\mu D_{\sigma\nu}R_\tau+R_\sigma D_{\mu\tau}R_\nu+R_\mu D_{\sigma\tau}R_\nu]. \tag{22.79} $$

由 (22.79) 及 $\boldsymbol{D}$ 的对称性 (22.50)，显然可知 $c_{\sigma\mu\tau\nu}$ 在交换 $\sigma\mu\leftrightarrow\tau\nu$ 下不变。此外，由 (22.79) 可直接得出，$c_{\sigma\mu\tau\nu}$ 在交换 $\sigma\leftrightarrow\mu$ 或 $\tau\leftrightarrow\nu$ 下也不变。因此，$c_{\sigma\mu\tau\nu}$ 的独立分量数减少到 21。

晶体对称性（Crystal Symmetries）

根据晶系，还可以进一步减少独立弹性常数的数目。³² 七个晶系中每个晶系所需的最大数目 表 22.1  独立弹性常数的数目

见表 22.1。例如，在立方情况下，只有以下三个独立分量：

$$ \begin{aligned}c_{11}&=c_{xxxx}=c_{yyyy}=c_{zzzz},\\c_{12}&=c_{xxyy}=c_{yyzz}=c_{zzxx},\\c_{44}&=c_{xyxy}=c_{yzyz}=c_{zxzx}.\end{aligned} $$

其余所有分量（其中 $x$、$y$ 或 $z$ 必须作为指标出现奇数次）都为零，因为沿任一立方轴将位移场的一个分量变号，都不能改变立方晶体的能量。

遗憾的是，弹性理论通常采用的表述没有充分利用简洁的张量记号。特别是，通常不用 (22.77) 描述位移场，而是使用应变分量：

$$ \begin{aligned}e_{\mu\nu}&=\varepsilon_{\mu\nu},&\mu&=\nu\\&=2\varepsilon_{\mu\nu},&\mu&\ne\nu,\end{aligned} \tag{22.80} $$

再按照以下规则将其简写为 $e_\alpha$、$\alpha=1,\ldots,6$：

$$ xx\to1,\quad yy\to2,\quad zz\to3,\quad yz\to4,\quad zx\to5,\quad xy\to6. \tag{22.81} $$

人们不用式 (22.78)，而写成：

$$ U=\frac12\sum_{\alpha\beta}\int d\boldsymbol{r}\,e_\alpha C_{\alpha\beta}e_\beta, \tag{22.82} $$

其中，$6\times6$ 的 $C$ 矩阵的元素与张量 $c_{\sigma\mu\tau\nu}$ 的分量之间的关系为

$$ \begin{gathered}C_{\alpha\beta}=c_{\sigma\mu\tau\nu},\\\text{其中 }\alpha\leftrightarrow\sigma\mu\\\text{且 }\beta\leftrightarrow\tau\nu,\\\text{对应关系由 (22.81) 指定。}\end{gathered} \tag{22.83} $$

量 $C_{\alpha\beta}$ 称为弹性刚度常数（elastic stiffness constants），或弹性模量（elastic moduli）。$C$ 的逆矩阵，即 $6\times6$ 矩阵 $S$ 的元素，称为弹性柔度常数（elastic compliance constants），或简称弹性常数（elastic constants）。

给定势能密度 (22.78) 后，宏观弹性理论进一步为 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r},t)$ 构造波动方程（wave equation）。最简洁的方法是注意到，与给定形变场 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ 对应的动能可以写为

$$ T=\rho\int d\boldsymbol{r}\,\frac12\dot{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{r},t)^2, \tag{22.84} $$

其中 $\rho$ 是晶格的质量密度：$\rho=MN/V$。于是，可以将介质的拉格朗日量（Lagrangian）写为：

$$ \begin{aligned}L=T-U=\frac12\int d\boldsymbol{r}\left[\rho\dot{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{r})^2\right.\\\left.-\frac14\sum_{\substack{\mu\nu\\\sigma\tau}}c_{\sigma\mu\nu\tau}\left(\frac\partial{\partial x_\sigma}u_\mu(\boldsymbol{r})+\frac\partial{\partial x_\mu}u_\sigma(\boldsymbol{r})\right)\left(\frac\partial{\partial x_\tau}u_\nu(\boldsymbol{r})+\frac\partial{\partial x_\nu}u_\tau(\boldsymbol{r})\right)\right].\end{aligned} \tag{22.85} $$

由哈密顿原理（Hamilton's principle）

$$ \delta\int dt\,L=0, $$

得到运动方程：³³

$$ \rho\ddot u_\mu=\sum_{\sigma\nu\tau}c_{\mu\sigma\nu\tau}\frac{\partial^2u_\tau}{\partial x_\sigma\,\partial x_\nu}. \tag{22.86} $$

若寻求如下形式的解

$$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r},t)=\boldsymbol{\epsilon} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)} \tag{22.87} $$

则 $\omega$ 与 $\boldsymbol{k}$ 必须通过以下本征值方程相联系：

$$ \rho\omega^2\epsilon_\mu=\sum_\tau\left(\sum_{\sigma\nu}c_{\mu\sigma\nu\tau}k_\sigma k_\nu\right)\epsilon_\tau. \tag{22.88} $$

这与一般谐性理论在长波长极限下导出的结果 (22.65)、(22.66) 具有相同结构（并可通过 (22.79) 证明它们相同）。因此，在长波长极限下，离散晶体的简正模化为弹性连续体中的声波。反过来，通过测量固体中的声速，可以利用 (22.88) 及 (22.79) 中 $c_{\sigma\mu\nu\tau}$ 的微观定义，获得有关力常数的信息。

表 22.2 列出了一些有代表性的立方固体的弹性常数。表 22.2  一些立方晶体的弹性常数^a

^a 300 K 下的弹性常数，单位为 $10^{12}$ dynes-cm$^{-2}$。

^b 参考文献如下：

1. H. B. Huntington, Solid State Phys. 7, 214 (1958).
2. P. Ho and A. L. Ruoff, J. Phys. Chem. Solids 29, 2101 (1968).
3. J. deLaunay, Solid State Phys. 2, 220 (1956).
4. P. Ho and A. L. Ruoff, J. Appl. Phys. 40, 3 (1969).
5. P. Ho and A. L. Ruoff, J. Appl. Phys. 40, 51 (1969).
6. D. I. Bolef, J. Appl. Phys. 32, 100 (1961).
7. J. A. Rayne and B. S. Chandrasekhar, Phys. Rev. 122, 1714 (1961).
8. G. A. Alers et al., J. Phys. Chem. Solids 13, 40 (1960).
9. J. T. Lewis et al., Phys. Rev. 161, 877 (1969).
10. M. Ghafelebashi et al., J. Appl. Phys. 41, 652, 2268 (1970).

习题（Problems）

1. 包含第 $m$ 近邻相互作用的直线链

重新考察直线链理论，不再假设只有最近邻相互作用，将式 (22.22) 替换为

$$ U^{\mathrm{harm}}=\sum_n\sum_{m\gt 0}\frac12K_m[u(na)-u([n+m]a)]^2. \tag{22.89} $$

(a)  证明，色散关系 (22.29) 必须推广为

$$ \omega=2\sqrt{\sum_{m\gt 0}K_m\frac{(\sin^2\tfrac12mka)}M}. \tag{22.90} $$

(b)  证明，色散关系的长波长极限 (22.31) 必须推广为：

$$ \omega=a\left(\sum_{m\gt 0}m^2K_m/M\right)^{1/2}|k|, \tag{22.91} $$

条件是 $\sum m^2K_m$ 收敛。

(c)  证明，若 $K_m=1/m^p$（$1\lt p\lt 3$），从而该求和不收敛，则在长波长极限下

$$ \omega\propto k^{(p-1)/2}. \tag{22.92} $$

（提示：此时不再允许对 (22.90) 中的正弦作小 $k$ 展开，但可以在小 $k$ 极限下用积分替换求和。）

(d)  证明，在特殊情况 $p=3$ 下，

$$ \omega\sim k\sqrt{|\ln k|}. \tag{22.93} $$

2. 双原子直线链

考虑一条直线链，其中离子的质量交替为 $M_1$ 和 $M_2$，且只有最近邻相互作用。

(a)  证明，简正模的色散关系为

$$ \omega^2=\frac K{M_1M_2}(M_1+M_2\pm\sqrt{M_1^2+M_2^2+2M_1M_2\cos ka}). \tag{22.94} $$

(b)  讨论 $M_1\gg M_2$ 时色散关系的形式及简正模的性质。

(c)  在 $M_1\approx M_2$ 时，将这一色散关系与单原子直线链的色散关系 (22.29) 比较。

3. 将带基元的晶格视为受到弱微扰的单原子布拉菲格子

当耦合常数 $K$ 和 $G$ 变得非常接近时，考察带基元的一维晶格的色散关系 (22.37)，很有启发性：

$$ K=K_0+\Delta,\quad G=K_0-\Delta,\quad\Delta\ll K_0. \tag{22.95} $$

(a)  证明，当 $\Delta=0$ 时，色散关系 (22.37) 化为具有最近邻耦合的单原子直线链的色散关系。（注意：如果双原子链的晶胞长度为 $a$，那么当 $K=G$ 时，它将化为晶格常数为 $a/2$ 的单原子链；此外，双原子链的布里渊区（$-\pi/a\lt k\lt \pi/a$）只有单原子链的布里渊区（$-\pi/(a/2)\lt k\lt \pi/(a/2)$）的一半。因此，必须解释半个区中的两个分支（声学支和光学支）如何恢复为整个区中的一个分支。为了令人信服地展示这一化简，应考察 $\Delta=0$ 时振幅比，即式 (22.38) 的行为。）

(b)  证明，当 $\Delta\ne0$ 但 $\Delta\ll K_0$ 时，除 $|\pi-ka|$ 为 $\Delta/K_0$ 量级的情况外，这一色散关系与单原子链的色散关系只相差 $(\Delta/K_0)^2$ 量级的项。证明，出现这一情况时，单原子链色散关系的畸变与 $\Delta/K_0$ 呈线性关系。³⁴

4. 单原子布拉菲格子简正模的极化

(a)  证明，如果 $\boldsymbol{k}$ 沿三重、四重或六重轴，一个简正模沿 $\boldsymbol{k}$ 极化，另两个简并且垂直于 $\boldsymbol{k}$ 极化。

(b)  证明，如果 $\boldsymbol{k}$ 位于镜面对称（mirror symmetry）平面内，一个简正模的极化方向垂直于 $\boldsymbol{k}$，另两个简正模的极化矢量位于镜面内。

(c)  证明，如果点 $\boldsymbol{k}$ 位于一个与镜面对称平面平行的布拉格平面（Bragg plane）上，一个简正模垂直于布拉格平面极化，另两个的极化方向位于该平面内。（注意，此时除非 $\boldsymbol{k}$ 垂直于布拉格平面，否则这些模不能严格是纵向和横向的。）

回答这些问题时，必须注意：任何使 $\boldsymbol{k}$ 和晶体都保持不变的操作，都必须将一个波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的简正模变换为另一个简正模。特别是，三个（正交）极化矢量构成的集合必须在这些操作下保持不变。应用这一事实时，必须记住，如果两个简正模简并，那么在它们的极化矢量所张成的平面内，任意矢量也都是可能的极化矢量。

5. 三维晶体的简正模

考虑一个面心立方单原子布拉菲格子，其中每个离子只与其（十二个）最近邻相互作用。假设相邻离子对之间的相互作用由对势 $\phi$ 描述，且只依赖于离子对之间的距离 $r$。

(a)  证明，波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的三个简正模的频率由下式给出：

$$ \omega=\sqrt{\lambda/M} \tag{22.96} $$

其中 $\lambda$ 是以下 $3\times3$ 矩阵的本征值：

$$ \boldsymbol{D}=\sum_{\boldsymbol{R}}\sin^2(\tfrac12\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R})[A\mathbf1+B\hat{\boldsymbol{R}}\hat{\boldsymbol{R}}]. \tag{22.97} $$

这里对 $\boldsymbol{R}=0$ 的十二个最近邻求和：

$$ \frac a2(\pm\hat{\boldsymbol{x}}\pm\hat{\boldsymbol{y}}),\quad\frac a2(\pm\hat{\boldsymbol{y}}\pm\hat{\boldsymbol{z}}),\quad\frac a2(\pm\hat{\boldsymbol{z}}\pm\hat{\boldsymbol{x}}); \tag{22.98} $$

$\mathbf1$ 是单位矩阵（unit matrix；$(\mathbf1)_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}$），$\hat{\boldsymbol{R}}\hat{\boldsymbol{R}}$ 是由单位矢量 $\hat{\boldsymbol{R}}=\boldsymbol{R}/R$ 构成的并矢（diadic；即 $(\hat{\boldsymbol{R}}\hat{\boldsymbol{R}})_{\mu\nu}=\hat R_\mu\hat R_\nu$）。常数 $A$ 和 $B$ 为：$A=2\phi'(d)/d$、$B=2[\phi''(d)-\phi'(d)/d]$，其中 $d$ 是平衡最近邻距离。（这可由式 (22.59) 和 (22.11) 得出。）

(b)  证明，当 $\boldsymbol{k}$ 沿 (100) 方向（直角坐标中 $\boldsymbol{k}=(k,0,0)$）时，一个简正模严格是纵向的，其频率为

$$ \omega_L=\sqrt{\frac{8A+4B}M}\sin\tfrac14ka, \tag{22.99} $$

另外两个严格是横向的且简并，其频率为

$$ \omega_T=\sqrt{\frac{8A+2B}M}\sin\tfrac14ka. \tag{22.100} $$

(c)  当 $\boldsymbol{k}$ 沿 [111] 方向（$\boldsymbol{k}=(k,k,k)/\sqrt3$）时，简正模的频率和极化方向是什么？

(d)  证明，当 $\boldsymbol{k}$ 沿 [110] 方向（$\boldsymbol{k}=(k,k,0)/\sqrt2$）时，一个模严格是纵向的，其频率为

$$ \omega_L=\sqrt{\frac{8A+2B}M\sin^2\left(\frac14\frac{ka}{\sqrt2}\right)+\frac{2A+2B}M\sin^2\left(\frac12\frac{ka}{\sqrt2}\right)}, \tag{22.101} $$

一个严格是横向的，并沿 $z$ 轴极化（$\boldsymbol{\epsilon}=(0,0,1)$），其频率为

$$ \omega_T^{(1)}=\sqrt{\frac{8A+4B}M\sin^2\left(\frac14\frac{ka}{\sqrt2}\right)+\frac{2A}M\sin^2\left(\frac12\frac{ka}{\sqrt2}\right)}, \tag{22.102} $$

第三个严格是横向的，并垂直于 $z$ 轴，其频率为

$$ \omega_T^{(2)}=\sqrt{\frac{8A+2B}M\sin^2\left(\frac14\frac{ka}{\sqrt2}\right)+\frac{2A}M\sin^2\left(\frac12\frac{ka}{\sqrt2}\right)}. \tag{22.103} $$

(e)  假设 $A=0$，画出沿 $\Gamma X$ 和 $\Gamma KX$ 两条线的色散曲线（图 22.13）。（注：$\Gamma X$ 的长度为 $2\pi/a$。）