晶格（Crystal Lattices）

本文是「固体物理学」系列的第 4 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 4 章的中文译稿。

没有在自然历史博物馆的矿物学展区中徜徉过的人，得知金属像大多数其他固体一样具有晶体结构时，往往会感到惊讶。虽然人们熟悉石英、金刚石和岩盐极为明显的晶体特征，但在最常见的金属形态中，却看不到那些相互形成锐角的特征性平面晶面。然而，自然界中以金属态存在的金属，常常呈现晶体形态。金属具有很大的延展性，可以制成任意所需的宏观形状，因而这些晶体形态在成品金属制品中被完全掩盖了。

判断结晶性的真正标准，不是大块样品的表面外观，而是在微观尺度上，离子是否排列成周期性阵列。¹ 长期以来，人们一直假设晶态物质具有这种内在的微观规则性，因为这是解释宏观晶体简单几何规则性的显然方式：晶体的平面晶面之间只形成某些确定的角度。1913 年，W. 和 L. Bragg 的工作直接从实验上证实了这一点；他们创立了 X 射线晶体学（X-ray crystallography），并开始研究固体中原子的排列方式。

在介绍如何用 X 射线衍射（X-ray diffraction）确定固体的微观结构，以及由此揭示的周期结构如何影响基本物理性质之前，先概述三维空间中周期阵列的一些最重要的几何性质很有帮助。这些纯粹的几何考虑，几乎隐含在固体物理中遇到的所有分析之中。本章以及第 5、7 章将探讨这些问题。这些概念的许多应用中的第一个，将是第 6 章的 X 射线衍射。

布拉维格子（Bravais lattice）

描述任何晶态固体的一个基本概念是布拉维格子，它规定了晶体中重复单元排列成的周期性阵列。单元本身可以是单个原子、原子群、分子、离子等；但无论实际单元是什么，布拉维格子都只概括其内在周期结构的几何性质。下面给出布拉维格子的两个等价定义²：

(a) 布拉维格子是离散点构成的无限阵列，从阵列中的任一点观察，所见的排列和取向都完全相同。

(b) （三维）布拉维格子由位置矢量 $\boldsymbol{R}$ 具有如下形式的所有点组成：

$$ \boldsymbol{R}=n_1\boldsymbol{a}_1+n_2\boldsymbol{a}_2+n_3\boldsymbol{a}_3, \tag{4.1} $$

其中，$\boldsymbol{a}_1$、$\boldsymbol{a}_2$ 和 $\boldsymbol{a}_3$ 是任意三个不全在同一平面内的矢量，$n_1$、$n_2$ 和 $n_3$ 遍取所有整数值。³ 因此，沿 $\boldsymbol{a}_i$ 的方向移动 $n_i$ 步⁴，每步长度为 $a_i$，其中 $i=1,2$ 和 $3$，即可到达点 $\sum n_i\boldsymbol{a}_i$。

布拉维格子定义 (b) 中出现的矢量 $\boldsymbol{a}_i$ 称为原始基矢（primitive vectors），称它们生成（generate）或张成（span）该格子。

要看出布拉维格子的两个定义等价，需要稍加思考。理解这两个定义后，任何满足 (b) 的阵列也满足 (a)，这一点就很明显了。但任何满足定义 (a) 的阵列都能由适当的一组三个矢量生成，这一点并不如此显然。其证明就是明确给出构造三个原始基矢的步骤。该构造见习题 8a。

图 4.1 表示二维布拉维格子的一部分。⁵ 显然它满足定义 (a)，而定义 (b) 所需的原始基矢 $\boldsymbol{a}_1$ 和 $\boldsymbol{a}_2$ 已标在图中。图 4.2 表示最熟悉的三维布拉维格子之一，即简单立方格子（simple cubic）。其特殊结构源于这样一个事实：它能由三个相互垂直、长度相等的原始基矢张成。

从布拉维格子中的每一点观察，不仅排列必须相同，取向也必须相同，这一点很重要。考虑二维蜂窝的顶点（图 4.3）。从相邻点观察时，只有在每次从一个点移到下一个点时都将纸面旋转 $180^\circ$，这个点阵才看起来相同。其结构关系显然相同，但取向关系并不相同，所以蜂窝的顶点不构成布拉维格子。下面介绍的三维六方密堆积晶格（hexagonal close-packed lattice），是一个更有实际意义的例子：它满足定义 (a) 中对结构的要求，却不满足对取向的要求。

无限晶格与有限晶体

由于所有点都是等价的，布拉维格子必须无限延伸。当然，实际晶体是有限的；但如果晶体足够大，绝大多数点都会离表面很远，因而不受表面存在的影响。因此，无限系统这一虚构是一种非常有用的理想化。如果关心表面效应，布拉维格子的概念仍然适用，但此时必须把实际晶体看作只占据理想布拉维格子的有限部分。

考虑有限晶体，往往并非因为表面效应很重要，而只是为了概念上的方便，正如第 2 章把电子气放在体积为 $V=L^3$ 的立方盒子中一样。通常会选择布拉维格子中形状尽可能简单的有限区域。给定三个原始基矢 $\boldsymbol{a}_1$、$\boldsymbol{a}_2$ 和 $\boldsymbol{a}_3$，通常把包含 $N$ 个格点的有限格子取为具有如下形式的点集：$\boldsymbol{R}=n_1\boldsymbol{a}_1+n_2\boldsymbol{a}_2+n_3\boldsymbol{a}_3$，其中 $0\leq n_1\lt N_1$、$0\leq n_2\lt N_2$、$0\leq n_3\lt N_3$，且 $N=N_1N_2N_3$。这一人为构造与把第 2 章使用的周期性边界条件推广到晶体系统的描述⁶密切相关。

进一步的说明与重要实例

布拉维格子的两个定义中，定义 (b) 在数学上更为精确，显然也是任何解析工作的出发点。不过，它有两个小缺点。首先，对于任意给定的布拉维格子，原始基矢组并不唯一——事实上，存在无限多个不等价的选择（见图 4.4）；过分依赖一个强调特定选择的定义，是令人不满意的，有时还会造成误导。其次，对于给定的点阵，通常一眼就能判断它是否满足第一个定义；但要立即看出是否存在一组原始基矢，或者证明不存在这样的基矢组，可能困难得多。

例如，考虑体心立方（body-centered cubic，bcc）格子。它由图 4.2 的简单立方格子（现在把其格点标为 $A$），在每个小立方体的中心添加一个点 $B$ 而形成（图 4.5）。起初可能会觉得，中心点 $B$ 与整个格子的关系不同于角点 $A$。然而，可以把中心点 $B$ 看作第二个简单立方阵列的角点。

在这个新阵列中，原来立方阵列的角点 $A$ 是中心点。因此，所有点确实具有相同的周围环境，体心立方格子是布拉维格子。如果原来的简单立方格子由以下原始基矢生成：

$$ a\hat{\boldsymbol{x}},\quad a\hat{\boldsymbol{y}},\quad a\hat{\boldsymbol{z}}, \tag{4.2} $$

其中 $\hat{\boldsymbol{x}}$、$\hat{\boldsymbol{y}}$ 和 $\hat{\boldsymbol{z}}$ 是三个相互正交的单位矢量，那么体心立方格子的一组原始基矢可取为（图 4.6）：

$$ \boldsymbol{a}_1=a\hat{\boldsymbol{x}},\quad\boldsymbol{a}_2=a\hat{\boldsymbol{y}},\quad\boldsymbol{a}_3=\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}). \tag{4.3} $$

一组更为对称的基矢（见图 4.7）是：

$$ \boldsymbol{a}_1=\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}-\hat{\boldsymbol{x}}),\quad\boldsymbol{a}_2=\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{z}}+\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}),\quad\boldsymbol{a}_3=\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}}). \tag{4.4} $$

应当从几何和解析两方面确认，这些基矢组确实生成 bcc 布拉维格子，这一点很重要。

另一个同样重要的例子是面心立方（face-centered cubic，fcc）布拉维格子。在图 4.2 的简单立方格子中，每个正方形面的中心添加一个点，就得到面心立方布拉维格子（图 4.8）。为便于描述，把简单立方格子中的每个立方体看作具有水平的底面和顶面，以及分别朝向北、南、东、西的四个竖直侧面。听起来，这个新点阵中的所有点似乎并不等价，但实际上它们是等价的。例如，可以考虑由添加在所有水平面中心的点形成的新简单立方格子。原来简单立方格子的格点，现在是新简单立方格子的水平面中心；而添加在原立方格子南北侧面中心的点，则位于新格子东西侧面的中心，反之亦然。

同样，也可以把简单立方格子看作由原简单立方格子所有南北侧面中心的点组成，或由所有东西侧面中心的点组成。无论哪种情况，其余的点都会位于新简单立方框架的面中心。因此，任意点都可以看作角点，或看作三类面中任意一类的面心点，面心立方格子确实是布拉维格子。

面心立方格子的一组对称原始基矢（见图 4.9）是：

$$ \boldsymbol{a}_1=\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}),\quad\boldsymbol{a}_2=\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{z}}+\hat{\boldsymbol{x}}),\quad\boldsymbol{a}_3=\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}). \tag{4.5} $$

面心立方和体心立方布拉维格子十分重要，因为种类极多的固体都以这些形式结晶，每个格点上有一个原子（或离子）（见表 4.1、4.2）。（不过，相应的简单立方形式非常罕见；在正常条件下的元素中，钋的 alpha 相是唯一已知的例子。）

表 4.1

具有单原子面心立方晶体结构的元素

表 4.1 至 4.7 的数据取自 R. W. G. Wyckoff，Crystal Structures，第 2 版，Interscience，New York，1963。多数情况下，数据是在接近室温和正常大气压下取得的。对于具有多种形态的元素，表中给出室温下的稳定形态（一种或多种）。如需更详细的信息、更精确的晶格常数及参考文献，应查阅 Wyckoff 的著作。

表 4.2

具有单原子体心立方晶体结构的元素

关于用法的说明

虽然我们把“布拉维格子”定义为一个点集，但它通常也用来指从这些点中的任一点连向所有其他点的矢量集合。（由于这些点构成布拉维格子，这个矢量集合不依赖于选哪一点作为原点。）另一种用法来自这样一个事实：任意矢量 $\boldsymbol{R}$ 都确定一个平移（translation）或位移，即一切物体在空间中沿 $\boldsymbol{R}$ 的方向整体移动距离 $R$。“布拉维格子”也用来指这些矢量所确定的平移集合，而不是矢量本身。在实际使用中，由上下文总能清楚判断，所指的是点、矢量，还是平移。⁷

配位数（coordination number）

布拉维格子中距离某一给定点最近的点，称为该点的最近邻（nearest neighbors）。由于布拉维格子的周期性，每个点具有相同数目的最近邻。因此，这个数目是晶格的一项性质，称为晶格的配位数。简单立方格子的配位数为 6，体心立方格子为 8，面心立方格子为 12。配位数的概念可以显然地推广到某些并非布拉维格子的简单点阵，只要阵列中的每一点都具有相同数目的最近邻。

原胞（primitive unit cell）

一个空间区域，如果沿布拉维格子的所有矢量平移后，恰好填满全部空间，既不相互重叠，也不留下空隙，就称为该格子的原胞（primitive cell 或 primitive unit cell）。⁸ 对于给定的布拉维格子，原胞的选择并不唯一。图 4.10 示出了二维布拉维格子的几种可能的原胞选择。

一个原胞必须恰好包含一个格点（除非放置原胞的位置使其表面上有格点）。由此可知，若 $n$ 是晶格中格点的密度⁹，$v$ 是原胞的体积，则 $nv=1$。因此 $v=1/n$。由于这一结果对任意原胞都成立，所以原胞的体积与原胞的选择无关。

由原胞的定义还可以得出：给定任意两个任意形状的原胞，可以把第一个切分成若干块，沿适当的晶格矢量平移后，重新拼成第二个。图 4.11 示出了这一点。

对于某一组特定的原始基矢 $\boldsymbol{a}_1$、$\boldsymbol{a}_2$、$\boldsymbol{a}_3$，与之对应的显然的原胞，是具有如下形式的所有点 $\boldsymbol{r}$ 的集合：

$$ \boldsymbol{r}=x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+x_3\boldsymbol{a}_3 \tag{4.6} $$

其中每个 $x_i$ 都在 0 与 1 之间连续变化；也就是由三个矢量 $\boldsymbol{a}_1$、$\boldsymbol{a}_2$ 和 $\boldsymbol{a}_3$ 张成的平行六面体（parallelipiped）。这一选择的缺点是不能显示布拉维格子的全部对称性。例如（图 4.12），对于 fcc 布拉维格子的原始基矢选择（4.5），晶胞（4.6）是一个斜平行六面体，不具有其所在晶格的全部立方对称性。使用具有所属布拉维格子全部对称性的晶胞，往往很重要。对于这一问题，有两种广泛采用的解决方法：

晶胞；惯用晶胞（conventional unit cell）

可以用非原始晶胞填满空间（通常简称为晶胞，unit cells，或惯用晶胞）。晶胞是这样一个区域：沿布拉维格子的某个矢量子集平移后，恰好填满空间，且没有任何重叠。惯用晶胞通常选得比原胞大，并具有所需的对称性。因此，常用一个立方晶胞（图 4.13）来描述体心立方格子，其大小是 bcc 原胞的两倍；用一个立方晶胞（图 4.12）来描述面心立方格子，其体积是 fcc 原胞的四倍。（若把惯用立方晶胞放置得使表面上没有格点，考察它必须包含多少格点，就容易看出惯用晶胞分别是原胞的两倍和四倍。）规定晶胞尺寸的数值（例如立方晶体中的单个数值 $a$），称为晶格常数（lattice constants）。

维格纳—赛茨原胞（Wigner-Seitz primitive cell）

总能选择一个具有布拉维格子全部对称性的原胞。其中最常用的选择是维格纳—赛茨原胞（Wigner-Seitz cell）。某格点周围的维格纳—赛茨原胞，是到该点的距离小于到其他任何格点距离的空间区域。¹⁰ 由于布拉维格子的平移对称性，任意一个格点周围的维格纳—赛茨原胞，沿连接它与另一格点的晶格矢量平移后，必定变成另一格点周围的维格纳—赛茨原胞。由于空间中的任一点都有唯一一个最近邻格点¹¹，它恰好属于一个格点的维格纳—赛茨原胞。因此，一个维格纳—赛茨原胞沿所有晶格矢量平移后，将恰好填满空间而不重叠；也就是说，维格纳—赛茨胞是原胞。

由于维格纳—赛茨胞的定义完全没有涉及任何特定的原始基矢选择，因此它具有与布拉维格子同等的对称性。¹²

图 4.14 示出了二维布拉维格子的维格纳—赛茨原胞，图 4.15、4.16 分别示出了三维体心立方和面心立方布拉维格子的维格纳—赛茨原胞。

注意，一个格点周围的维格纳—赛茨原胞可以如下构造：画出该点与晶格中其他所有点¹³的连线，用平面平分每条连线，

并取由这些平面围成、包含该格点的最小多面体。

晶体结构；带基元的晶格（lattice with a basis）

可以通过给出实际晶体的底层布拉维格子，以及某一特定原胞内原子、分子、离子等的排列，来描述实际晶体。当强调构成布拉维格子的抽象点阵与体现该格子的实际晶体¹⁴之间的差别时，使用专门术语“晶体结构”（crystal structure）。晶体结构由同一物理单元的相同副本组成，该物理单元称为基元（basis）；这些副本位于布拉维格子的所有点上（等价地说，沿布拉维格子的所有矢量平移）。有时也用带基元的晶格这一术语。不过，“带基元的晶格”也有更一般的含义：即使基本单元不是一个或多个实际物体，而是另一个点集，也用这一术语表示所得的结构。例如，二维蜂窝的顶点虽然不是布拉维格子，却可以表示为一个二维三角布拉维格子¹⁵加上一个两点基元（图 4.17）。基元由单个原子或离子组成的晶体结构，常称为单原子布拉维格子（monatomic Bravais lattice）。

选择一个非原始的惯用晶胞，也可以把布拉维格子描述为带基元的晶格。为强调 bcc 和 fcc 布拉维格子的立方对称性，常这样处理。此时，分别将它们描述为由 $a\hat{\boldsymbol{x}}$、$a\hat{\boldsymbol{y}}$ 和 $a\hat{\boldsymbol{z}}$ 张成的简单立方格子，配以两点基元：

$$ \boldsymbol{0},\quad\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}})\qquad\text{(bcc)} \tag{4.7} $$

或四点基元：

$$ \boldsymbol{0},\quad\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}),\quad\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}),\quad\frac{a}{2}(\hat{\boldsymbol{z}}+\hat{\boldsymbol{x}})\qquad\text{(fcc)}. \tag{4.8} $$

晶体结构与带基元晶格的一些重要实例

金刚石结构（diamond structure）

金刚石格子¹⁶（由金刚石晶体中的碳原子构成）由两个相互穿插的面心立方布拉维格子组成，它们沿立方晶胞的体对角线相互位移，位移量为该对角线长度的四分之一。它可以看作带有两点基元 $\boldsymbol{0}$ 和 $(a/4)(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}})$ 的面心立方格子。配位数为 4（图 4.18）。金刚石格子不是布拉维格子，因为任意一点周围环境的取向，都不同于其最近邻的周围环境取向。以金刚石结构结晶的元素列于表 4.3。

表 4.3

具有金刚石晶体结构的元素

六方密堆积结构（hexagonal close-packed structure）

虽然六方密堆积（hexagonal close-packed，hcp）结构不是布拉维格子，但它的重要性与体心立方、面心立方布拉维格子相当；约有 30 种元素以六方密堆积形式结晶（表 4.4）。

表 4.4

具有六方密堆积晶体结构的元素

hcp 结构的底层格子是简单六方（simple hexagonal）布拉维格子，它由二维三角网格¹⁵直接上下堆叠而成（图 4.19）。堆叠方向（下式中的 $\boldsymbol{a}_3$）称为 $c$ 轴。三个原始基矢为：

$$ \boldsymbol{a}_1=a\hat{\boldsymbol{x}},\quad\boldsymbol{a}_2=\frac{a}{2}\hat{\boldsymbol{x}}+\frac{\sqrt{3}a}{2}\hat{\boldsymbol{y}},\quad\boldsymbol{a}_3=c\hat{\boldsymbol{z}}. \tag{4.9} $$

前两个在 $x$-$y$ 平面内生成三角格子，第三个使这些平面以距离 $c$ 上下堆叠。

六方密堆积结构由两个相互穿插的简单六方布拉维格子组成，二者相对位移为 $\boldsymbol{a}_1/3+\boldsymbol{a}_2/3+\boldsymbol{a}_3/2$（图 4.20）。这一名称反映了这样一个事实：密堆积的硬球可以排列成这样的结构。考虑堆放炮弹（图 4.21），第一层从一个密堆积的三角格子开始。在第一层每隔一个三角形中心留下的凹隙中放置一个球，就形成下一层，从而得到相对于第一层发生平移的第二个三角层。在第二层隔一个取一个的凹隙中放球，使它们处于第一层球的正上方，就形成第三层。第四层处于第二层的正上方，依此类推。所得格子是六方密堆积格子，具有如下特定值（见习题 5）：

$$ c=\sqrt{\frac{8}{3}}a=1.63299a. \tag{4.10} $$

不过，由于六方密堆积格子的对称性与 $c/a$ 比值无关，这一名称并不限于这种情形。$c/a=\sqrt{8/3}$ 有时称为“理想”值；具有这一理想 $c/a$ 值的真正密堆积结构，称为理想 hcp 结构。但除非 hcp 结构中的物理单元确实是密堆积球，否则没有理由要求 $c/a$ 必须取理想值（见表 4.4）。注意，与金刚石结构的情形一样，hcp 格子不是布拉维格子，因为沿 $c$ 轴从一层到另一层，格点周围环境的取向发生变化。还应注意，沿 $c$ 轴观察时，两种平面合在一起形成图 4.3 中的二维蜂窝点阵，而它不是布拉维格子。

其他可能的密堆积方式

注意，hcp 结构不是球密堆积的唯一方式。如果前两层按上述方式放置，但第三层放在第二层的另一组凹隙中——即位于第一层和第二层都未使用的凹隙上方的位置（见图 4.21）——然后将第四层放在第三层的凹隙中、第一层球的正上方，第五层放在第二层球的上方，依此类推，就会生成布拉维格子。这个布拉维格子实际上就是面心立方格子，其立方体对角线垂直于三角层平面（图 4.22、4.23）。

由于每一个后续层都可以放在两个位置中的任一个，因而还有无限多种其他的密堆积排列。只有 fcc 密堆积给出布拉维格子，而 fcc（$\ldots ABCABCABC\ldots$）和 hcp（$\ldots ABABAB\ldots$）结构是最为常见的。不过，也观察到了其他密堆积结构。例如，某些稀土金属采用（$\ldots ABACABACABAC\ldots$）形式的结构。

氯化钠结构（sodium chloride structure）

由于格点内在的几何排列，必须把六方密堆积格子和金刚石格子描述为带基元的晶格。不过，即使原子或离子只位于布拉维格子的格点上，如果存在不止一种原子或离子，从而使晶体结构缺少该布拉维格子的全部平移对称性，在描述这种晶体结构时，也必须采用带基元的晶格。例如，氯化钠（图 4.24）由数量相等的钠离子和氯离子组成，它们交替占据简单立方格子的格点，使每个离子都以六个另一种离子作为最近邻。¹⁷ 这一结构可以描述为面心立方布拉维格子，其基元由位于 $\boldsymbol{0}$ 的钠离子和位于惯用立方晶胞中心 $(a/2)(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}})$ 的氯离子组成。

表 4.5

具有氯化钠结构的一些化合物

氯化铯结构（cesium chloride structure）

类似地，氯化铯（图 4.25）由数量相等的铯离子和氯离子组成，它们位于体心立方格子的格点上，使每个离子都有八个另一种离子作为最近邻。¹⁸ 这一结构的平移对称性与简单立方布拉维格子的平移对称性相同，可以描述为带基元的简单立方格子；基元由原点 $\boldsymbol{0}$ 处的铯离子和立方体中心 $(a/2)(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}})$ 处的氯离子组成。

表 4.6

具有氯化铯结构的一些化合物

闪锌矿结构（zincblende structure）

闪锌矿中数量相等的锌离子和硫离子分布在金刚石格子上，使每个离子都以四个另一种离子作为最近邻（图 4.18）。这一结构¹⁹是带基元晶格的一个例子；既因为离子的几何位置，也因为存在两种离子，必须如此描述。

表 4.7

具有闪锌矿结构的一些化合物

晶格的其他方面

本章着重描述晶格在实际物理空间中的平移对称性。周期阵列的另外两个方面将在后续章节讨论：第 5 章考察平移对称性的结果，所处空间不是实空间，而是所谓倒易空间（reciprocal space，或波矢空间，wave vector space）；第 7 章描述晶格旋转对称性（rotational symmetry）的一些特征。

习题

1.

对以下每一种情形，说明该结构是否为布拉维格子。若是，给出三个原始基矢；若不是，将其描述为带有尽可能小的基元的布拉维格子。

(a) 底心立方（base-centered cubic）：在简单立方格子的立方晶胞水平面中心添加格点。

(b) 侧心立方（side-centered cubic）：在简单立方格子的立方晶胞竖直面中心添加格点。

(c) 棱心立方（edge-centered cubic）：在简单立方格子的最近邻连线中点添加格点。

2.

具有笛卡尔坐标 $(n_1,n_2,n_3)$ 的所有点，在下列条件下构成什么布拉维格子？

(a) $n_i$ 全部为偶数或全部为奇数。

(b) 要求 $n_i$ 的和为偶数。

3.

证明：连接金刚石格子中某一格点与其四个最近邻的任意两条线（键）之间的夹角为 $\cos^{-1}(-1/3)=109^\circ28'$。

4.

(a) 证明：任意二维布拉维格子的维格纳—赛茨原胞是六边形或矩形。

(b) 证明：面心立方格子的维格纳—赛茨原胞（图 4.16）每一个平行四边形面的两条对角线长度之比为 $\sqrt{2}:1$。

(c) 证明：体心立方格子的维格纳—赛茨原胞（图 4.15）边界多面体的每一条棱，其长度都是惯用立方晶胞边长的 $\sqrt{2}/4$ 倍。

(d) 证明：bcc 维格纳—赛茨原胞的所有六边形面都是正六边形。（注意，穿过某六边形面中心且垂直于该面的轴，只有三重对称性，因而仅凭这一对称性是不够的。）

5.

(a) 证明：六方密堆积结构的理想 $c/a$ 比值为 $\sqrt{8/3}=1.633$。

(b) 钠在约 23K 时从 bcc 转变为 hcp（“马氏体”，martensitic，转变）。假设这一转变过程中密度保持不变，已知立方相中 $a=4.23$ Å，且六方相的 $c/a$ 比值与其理想值无可分辨的差别，求六方相的晶格常数 $a$。

6.

在三种立方布拉维格子中，面心立方最密，简单立方最疏。金刚石结构比它们中的任何一种都疏。衡量这一点的一种方式是配位数：fcc，12；bcc，8；sc，6；金刚石，4。另一种方式如下：假设相同的实心球分布在空间中，其球心位于这四种结构各自的格点上，邻近格点上的球恰好相切而不重叠。（这样的球排列称为密堆积排列。）假设球的密度为单位密度，证明：四种结构中各自的密堆积球集合的密度（“堆积率”，packing fraction）分别为：

$$ \begin{array}{rl} \text{fcc:}&\sqrt{2}\pi/6=0.74\\ \text{bcc:}&\sqrt{3}\pi/8=0.68\\ \text{sc:}&\pi/6=0.52\\ \text{金刚石:}&\sqrt{3}\pi/16=0.34. \end{array} $$

7.

令 $N_n$ 为给定布拉维格点的第 $n$ 近邻的数目（例如，简单立方布拉维格子中 $N_1=6$、$N_2=12$ 等）。令 $r_n$ 为到第 $n$ 近邻的距离，以最近邻距离的倍数表示（例如，简单立方布拉维格子中 $r_1=1$、$r_2=\sqrt{2}=1.414$）。对于 fcc、bcc 和 sc 布拉维格子，分别列出 $n=1,\ldots,6$ 时 $N_n$ 和 $r_n$ 的表。

8.

(a) 给定一个布拉维格子，令 $\boldsymbol{a}_1$ 为连接某一特定点 $P$ 与其一个最近邻的矢量。令 $P'$ 为一个不在过 $P$、沿 $\boldsymbol{a}_1$ 方向的直线上的格点，且它到该直线的距离不大于其他任何格点到该直线的距离；令 $\boldsymbol{a}_2$ 连接 $P$ 与 $P'$。令 $P''$ 为一个不在过 $P$、由 $\boldsymbol{a}_1$ 和 $\boldsymbol{a}_2$ 确定的平面上的格点，且它到该平面的距离不大于其他任何格点到该平面的距离；令 $\boldsymbol{a}_3$ 连接 $P$ 与 $P''$。证明 $\boldsymbol{a}_1$、$\boldsymbol{a}_2$ 和 $\boldsymbol{a}_3$ 是该布拉维格子的一组原始基矢。

(b) 证明：布拉维格子可以定义为不全位于同一平面内、对加法和减法封闭的离散矢量集合（如第 70 页所述）。