弱周期势中的电子

本文是「固体物理学」系列的第 9 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 9 章的中文译稿。

如果周期势很弱，就能深入了解它在电子能级上造成的结构。这种方法曾可能被视为有启发性、但仅具有理论意义的练习。然而，现在我们知道，在许多情形中，这一看似不现实的假设所给出的结果却惊人地接近实际。对周期表第 I、II、III、IV 族金属的现代理论和实验研究（即原子结构在闭壳层稀有气体构型之外包含 $s$、$p$ 电子的金属）表明，传导电子（conduction electrons）可以描述为在几乎为常数的势中运动。这些元素常称为“近自由电子”（nearly free electron）金属，因为描述它们的出发点是索末菲自由电子气（Sommerfeld free electron gas），再因弱周期势的存在而加以修正。本章将从近自由电子观点出发，考察能带结构的一些广泛的一般特征。对具体金属的应用将在第 15 章讨论。

这些金属的导带（conduction bands）为什么如此类似于自由电子，并非显而易见。传导电子彼此之间及与正离子之间的强相互作用，为什么能产生很弱的势这一净效果，有两个根本原因。

1. 电子—离子相互作用在距离很小时最强，但由于离子紧邻的区域已被芯电子（core electrons）占据，传导电子不能进入这一区域（泡利原理，Pauli principle）。
2. 在允许传导电子出现的区域内，它们的运动能力进一步降低了任何单个电子所感受到的净势，因为它们能够屏蔽（screen）带正电离子的场，使总有效势减小。

这些说明仅初步提示了为什么以下讨论有广泛的实际应用。后面我们将回到近自由电子方法的依据问题，在第 11 章讨论第 1 点，在第 17 章讨论第 2 点。

势很弱时薛定谔方程的一般处理方法

周期势为零时，薛定谔方程（Schrödinger equation）的解是平面波。因此，处理弱周期势的合理出发点，是第 8 章所述将精确解按平面波展开的方法。晶体动量（crystal momentum）为 $\boldsymbol{k}$ 的布洛赫能级（Bloch level）的波函数，可写成式 (8.42) 所给的形式：

$$ \psi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=\sum_{\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}e^{i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K})\cdot\boldsymbol{r}}, \tag{9.1} $$

其中系数 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}$ 与能级的能量 $\mathcal{E}$ 由方程组 (8.41) 确定：

$$ \left[\frac{\hbar^2}{2m}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K})^2-\mathcal{E}\right]c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}+\sum_{\boldsymbol{K}'}U_{\boldsymbol{K}'-\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}'}=0. \tag{9.2} $$

(9.1) 中的求和遍及所有倒格矢（reciprocal lattice vectors）$\boldsymbol{K}$；对于固定的 $\boldsymbol{k}$，每个倒格矢 $\boldsymbol{K}$ 对应一个 (9.2) 形式的方程。对于给定的 $\boldsymbol{k}$，(9.2) 的不同解（有无限多个）由能带指标（band index）$n$ 标记。波矢 $\boldsymbol{k}$ 可以（但不必）看作位于 $k$ 空间的第一布里渊区内。

在自由电子情形中，所有傅里叶分量（Fourier components）$U_{\boldsymbol{K}}$ 都严格为零。此时式 (9.2) 成为

$$ (\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}-\mathcal{E})c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}=0, \tag{9.3} $$

其中引入了以下记号：

$$ \mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}=\frac{\hbar^2}{2m}q^2. \tag{9.4} $$

对于每个 $\boldsymbol{K}$，式 (9.3) 要求或者 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}=0$，或者 $\mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}$。后一种可能性只能对一个 $\boldsymbol{K}$ 出现，除非某些 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}$ 恰好对几个不同的 $\boldsymbol{K}$ 取值相等。如果没有这种简并（degeneracy），就得到预期的一类自由电子解：

$$ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0},\quad\psi_{\boldsymbol{k}}\propto e^{i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K})\cdot\boldsymbol{r}}. \tag{9.5} $$

但是，如果有一组倒格矢 $\boldsymbol{K}_1$、$\ldots$、$\boldsymbol{K}_m$ 满足

$$ \mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}=\cdots=\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_m}^{0}, \tag{9.6} $$

那么，当 $\mathcal{E}$ 等于这些自由电子能量的共同值时，就有 $m$ 个独立的简并平面波解。由于简并解的任意线性组合仍然是解，在 $\boldsymbol{K}=\boldsymbol{K}_1,\ldots,\boldsymbol{K}_m$ 时，系数 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}$ 的选择完全自由。

当 $U_{\boldsymbol{K}}$ 非零但很小时，这些简单的观察就有了更实质性的内容。分析仍自然分为两种情形，分别对应自由电子的非简并和简并情形。不过，此时区分的依据不再是两个或多个不同自由电子能级的严格相等，¹ 而只是除去 $U$ 阶的项后，它们是否相等。

情形 1 固定 $\boldsymbol{k}$，考虑一个特定的倒格矢 $\boldsymbol{K}_1$，使自由电子能量 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}$ 与 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}$ 的值（对所有其他 $\boldsymbol{K}$）之间的间隔，相对于 $U$ 都很大（见图 9.1）：²

$$ |\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}|\gg U,\quad\text{对于固定的 }\boldsymbol{k}\text{及所有 }\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1. \tag{9.7} $$

我们要研究势对以下自由电子能级的影响：

$$ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0},\quad c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}=0,\quad\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1. \tag{9.8} $$

在式 (9.2) 中令 $\boldsymbol{K}=\boldsymbol{K}_1$（并采用简记号 (9.4)），得到（去掉求和指标上的撇号）：

$$ (\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0})c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}=\sum_{\boldsymbol{K}}U_{\boldsymbol{K}-\boldsymbol{K}_1}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}. \tag{9.9} $$

由于已选择势能中的加法常数，使 $\boldsymbol{K}=0$ 时 $U_{\boldsymbol{K}}=0$（见第 137 页），(9.9) 右侧仅出现 $\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1$ 的项。我们考察的解，在 $U$ 趋于零的极限下，当 $\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1$ 时 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}$ 为零，因此预期 (9.9) 右侧是 $U$ 的二阶量。对于 $\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1$，将式 (9.2) 写为下式，就能显式验证这一点：

$$ c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}=\frac{U_{\boldsymbol{K}_1-\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}}{\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}}+\sum_{\boldsymbol{K}'\ne\boldsymbol{K}_1}\frac{U_{\boldsymbol{K}'-\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}'}}{\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}}. \tag{9.10} $$

我们从 (9.10) 的求和中单独分出了含 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}$ 的项，因为它比其余项大一个数量级；其余项含有 $\boldsymbol{K}'\ne\boldsymbol{K}_1$ 时的 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}'}$。这一结论依赖于假设 (9.7)，即能级 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}$ 不与其他某个 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}$ 近简并。这样的近简并可能使 (9.10) 中某些分母成为 $U$ 阶，从而抵消分子中显式的 $U$，导致 (9.10) 的求和中出现与 $\boldsymbol{K}=\boldsymbol{K}_1$ 项相当的其他项。

因此，只要没有近简并，

$$ c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}=\frac{U_{\boldsymbol{K}_1-\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}}{\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}}+O(U^2). \tag{9.11} $$

将其代入 (9.9)，得到：

$$ (\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0})c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}=\sum_{\boldsymbol{K}}\frac{U_{\boldsymbol{K}-\boldsymbol{K}_1}U_{\boldsymbol{K}_1-\boldsymbol{K}}}{\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}+O(U^3). \tag{9.12} $$

于是，微扰后的能级 $\mathcal{E}$ 与自由电子值 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}$ 的差为 $U^2$ 阶的项。为在这一阶求解式 (9.12) 中的 $\mathcal{E}$，只需把右侧分母中的 $\mathcal{E}$ 替换为 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}$，就得到 $\mathcal{E}$ 的以下表达式，³ 它准确到 $U$ 的二阶：

$$ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}+\sum_{\boldsymbol{K}}\frac{|U_{\boldsymbol{K}-\boldsymbol{K}_1}|^2}{\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}}+O(U^3). \tag{9.13} $$

式 (9.13) 表明，受到弱微扰的非简并能带彼此排斥，因为每个低于 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}$ 的能级 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}$，都在 (9.13) 中贡献一个使 $\mathcal{E}$ 升高的项；每个高于 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}$ 的能级，则贡献一个降低能量的项。不过，在没有近简并情形的这一分析中，最重要的特征只是一个总体观察：相对于自由电子值的能量位移是 $U$ 的二阶量。在近简并情形中（正如我们马上将看到的），能量位移可以是 $U$ 的线性量。因此，在弱周期势的最低阶上，只有近简并的自由电子能级会发生显著位移，我们必须把大部分注意力集中于这一重要情形。

情形 2 假定 $\boldsymbol{k}$ 的值使得存在倒格矢 $\boldsymbol{K}_1$、$\ldots$、$\boldsymbol{K}_m$，相应的 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0}$、$\ldots$、$\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_m}^{0}$ 彼此之间的差都在 $U$ 阶范围内，⁴ 但与其他 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}$ 的间隔相对于 $U$ 很大：

$$ |\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_i}^{0}|\gg U,\quad i=1,\ldots,m,\quad\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1,\ldots,\boldsymbol{K}_m. \tag{9.14} $$

此时，必须单独处理 (9.2) 中将 $\boldsymbol{K}$ 取为 $m$ 个值 $\boldsymbol{K}_1,\ldots,\boldsymbol{K}_m$ 之一所得的方程。这给出 $m$ 个方程，对应于非简并情形中的单个方程 (9.9)。在这 $m$ 个方程中，从求和中分出含有系数 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_j}$、$j=1,\ldots,m$ 的项；这些系数在相互作用趋于零的极限下不一定很小，而其余的 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}$ 至多为 $U$ 阶。因此有

$$ \begin{aligned}(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_i}^{0})c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_i}&=\sum_{j=1}^{m}U_{\boldsymbol{K}_j-\boldsymbol{K}_i}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_j}+\sum_{\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1,\ldots,\boldsymbol{K}_m}U_{\boldsymbol{K}-\boldsymbol{K}_i}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}},\\&\hspace{20mm}i=1,\ldots,m.\end{aligned} \tag{9.15} $$

在求和中作相同的分离，可以将其余能级对应的式 (9.2) 写为

$$ \begin{aligned}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}&=\frac{1}{\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}}\left(\sum_{j=1}^{m}U_{\boldsymbol{K}_j-\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_j}+\sum_{\boldsymbol{K}'\ne\boldsymbol{K}_1,\ldots,\boldsymbol{K}_m}U_{\boldsymbol{K}'-\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}'}\right),\\&\hspace{20mm}\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1,\ldots,\boldsymbol{K}_m,\end{aligned} \tag{9.16} $$

（对应于没有近简并情形中的方程 (9.10)）。

由于当 $\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1,\ldots,\boldsymbol{K}_m$ 时，$c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}$ 至多为 $U$ 阶，由式 (9.16) 得到

$$ c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}=\frac{1}{\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}}\sum_{j=1}^{m}U_{\boldsymbol{K}_j-\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_j}+O(U^2). \tag{9.17} $$

将其代入 (9.15)，得到

$$ \begin{aligned}(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_i}^{0})c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_i}&=\sum_{j=1}^{m}U_{\boldsymbol{K}_j-\boldsymbol{K}_i}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_j}\\&\quad+\sum_{j=1}^{m}\left(\sum_{\boldsymbol{K}\ne\boldsymbol{K}_1,\ldots,\boldsymbol{K}_m}\frac{U_{\boldsymbol{K}-\boldsymbol{K}_i}U_{\boldsymbol{K}_j-\boldsymbol{K}}}{\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}}\right)c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_j}+O(U^3).\end{aligned} \tag{9.18} $$

将这一结果与没有近简并情形中的结果 (9.12) 比较。那里，我们得到了能量位移准确到 $U^2$ 阶的显式表达式（当 $m=1$ 时，方程组 (9.18) 退化为它）。不过，现在我们发现，要以 $U^2$ 阶精度确定 $m$ 个近简并能级的位移，就归结为求解关于 $c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_i}$ 的 $m$ 个耦合方程（coupled equations）。⁵ 此外，这些方程右侧第二项的系数，比第一项的系数具有更高的 $U$ 阶数。⁶ 因此，为求出 $U$ 的最低阶修正，可以用以下简单得多的方程代替 (9.18)：

$$ (\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_i}^{0})c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_i}=\sum_{j=1}^{m}U_{\boldsymbol{K}_j-\boldsymbol{K}_i}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_j},\quad i=1,\ldots,m, \tag{9.19} $$

它们正是具有 $m$ 个量子能级的系统的一般方程。⁷

单个布拉格平面附近的能级

上述讨论最简单、最重要的例子，是两个自由电子能级的间隔在 $U$ 阶范围内，但与所有其他能级的间隔相对于 $U$ 很大。这时，式 (9.19) 退化为两个方程：

$$ \begin{aligned}(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}^{0})c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}&=U_{\boldsymbol{K}_2-\boldsymbol{K}_1}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_2},\\(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_2}^{0})c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_2}&=U_{\boldsymbol{K}_1-\boldsymbol{K}_2}c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1}.\end{aligned} \tag{9.20} $$

只有两个能级时，继续采用对称地标记它们的记号惯例意义不大。因此，引入对两能级问题特别方便的变量：

$$ \boldsymbol{q}=\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}_1\quad\text{及}\quad\boldsymbol{K}=\boldsymbol{K}_2-\boldsymbol{K}_1, \tag{9.21} $$

将 (9.20) 写为

$$ \begin{aligned}(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0})c_{\boldsymbol{q}}&=U_{\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}},\\(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0})c_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}&=U_{-\boldsymbol{K}}c_{\boldsymbol{q}}=U_{\boldsymbol{K}}^{*}c_{\boldsymbol{q}}.\end{aligned} \tag{9.22} $$

有：

$$ \mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}\approx\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0},\quad|\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}'}^{0}|\gg U,\quad\text{对于 }\boldsymbol{K}'\ne\boldsymbol{K},0. \tag{9.23} $$

对某个倒格矢，只有当 $|\boldsymbol{q}|=|\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}|$ 时，$\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}$ 才等于 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0}$。这意味着（图 9.2a），$\boldsymbol{q}$ 必须位于连接 $k$ 空间原点与倒格点 $\boldsymbol{K}$ 的线段的垂直平分布拉格平面上（见第 6 章）。只有 $\boldsymbol{K}'=\boldsymbol{K}$ 时 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}'}^{0}$ 的要求，意味着 $\boldsymbol{q}$ 仅位于这个布拉格平面上，而不在任何其他布拉格平面上。

因此，条件 (9.23) 的几何意义是，要求 $\boldsymbol{q}$ 接近一个布拉格平面（但不接近两个或多个布拉格平面相交的位置）。所以，两个近简并能级的情形适用于波矢近似满足单次布拉格散射（Bragg scattering）条件的电子。⁸ 相应地，多个近简并能级的一般情形，适用于自由电子能级的波矢接近一个能够同时发生多次布拉格反射（Bragg reflections）的波矢的情况。由于近简并能级受弱周期势的影响最强，我们得出结论：弱周期势的主要影响，仅作用于那些波矢接近能够发生布拉格反射的波矢的自由电子能级。

第 162–166 页将系统讨论自由电子波矢何时位于、何时不位于布拉格平面上，以及这在弱势中的能级上造成的一般结构。不过，首先考察附近只有一个布拉格平面时，由 (9.22) 所确定的能级结构。这些方程有解的条件是：

$$ \begin{vmatrix}\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}&-U_{\boldsymbol{K}}\\-U_{\boldsymbol{K}}^{*}&\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0}\end{vmatrix}=0. \tag{9.24} $$

由此得到一个二次方程

$$ (\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0})(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0})=|U_{\boldsymbol{K}}|^2. \tag{9.25} $$

两个根

$$ \mathcal{E}=\tfrac12(\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}+\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0})\pm\left[\left(\frac{\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}-\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0}}{2}\right)^2+|U_{\boldsymbol{K}}|^2\right]^{1/2} \tag{9.26} $$

给出当 $\boldsymbol{q}$ 接近 $\boldsymbol{K}$ 所确定的布拉格平面时，周期势对两个自由电子能级 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}$ 和 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0}$ 能量的主要影响。它们绘于图 9.3。

对于布拉格平面上的点，结果 (9.26) 特别简单，因为 $\boldsymbol{q}$ 位于布拉格平面上时，$\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0}$。因此

$$ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}\pm|U_{\boldsymbol{K}}|,\quad\boldsymbol{q}\quad\text{位于单个布拉格平面上}. \tag{9.27} $$

于是，在布拉格平面上的所有点，一个能级都升高 $|U_{\boldsymbol{K}}|$，另一个能级都降低相同的量。

由 (9.26) 也容易验证，当 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}^{0}$ 时，

$$ \frac{\partial\mathcal{E}}{\partial\boldsymbol{q}}=\frac{\hbar^2}{m}(\boldsymbol{q}-\tfrac12\boldsymbol{K}); \tag{9.28} $$

即点 $\boldsymbol{q}$ 位于布拉格平面上时，$\mathcal{E}$ 的梯度平行于该平面（见图 9.2b）。由于梯度垂直于函数值为常数的曲面，因此，在布拉格平面处，等能面垂直于该平面。⁹

当 $\boldsymbol{q}$ 位于单个布拉格平面上时，也容易确定与两个解 $\mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}\pm|U_{\boldsymbol{K}}|$ 对应的波函数形式。根据 (9.22)，当 $\mathcal{E}$ 由 (9.27) 给出时，两个系数 $c_{\boldsymbol{q}}$ 和 $c_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}$ 满足¹⁰

$$ c_{\boldsymbol{q}}=\pm\operatorname{sgn}(U_{\boldsymbol{K}})c_{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{K}}. \tag{9.29} $$

由于这两个系数是平面波展开 (9.1) 中的主要系数，因此

$$ \begin{aligned}&\text{如果 }U_{\boldsymbol{K}}\gt 0,\ \text{则}\\&|\psi(\boldsymbol{r})|^2\propto(\cos\tfrac12\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r})^2,\quad\mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}+|U_{\boldsymbol{K}}|,\\&|\psi(\boldsymbol{r})|^2\propto(\sin\tfrac12\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r})^2,\quad\mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}-|U_{\boldsymbol{K}}|,\\&\text{而如果 }U_{\boldsymbol{K}}\lt 0,\ \text{则}\\&|\psi(\boldsymbol{r})|^2\propto(\sin\tfrac12\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r})^2,\quad\mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}+|U_{\boldsymbol{K}}|,\\&|\psi(\boldsymbol{r})|^2\propto(\cos\tfrac12\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r})^2,\quad\mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{q}}^{0}-|U_{\boldsymbol{K}}|.\end{aligned} \tag{9.30} $$

有时，由于这两类线性组合在格点附近的位置依赖性，将它们称为“类 $p$”（$p$-like，$|\psi|^2\sim\sin^2\frac12\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}$）和“类 $s$”（$s$-like，$|\psi|^2\sim\cos^2\frac12\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}$）。类 $s$ 组合像原子 $s$ 能级一样，在离子处不为零；类 $p$ 组合中，在离子附近的小距离处，电荷密度随离子距离的平方趋于零，这也是原子 $p$ 能级的特征。

一维能带

在一维情形中可以说明这些一般结论，其中最多只能出现二重简并。没有任何相互作用时，电子能级只是关于 $k$ 的一条抛物线（图 9.4a）。在弱一维周期势的最低阶上，除布拉格“平面”（在一维中为点）附近外，这条曲线仍然正确。当 $q$ 接近倒格矢 $K$ 对应的布拉格“平面”（即 $\frac12K$ 点）时，可以这样确定修正后的能级：另画一条以 $K$ 为中心的自由电子抛物线（图 9.4b），注意交点处的简并发生 $2|U_K|$ 的劈裂，使两条曲线在该点处的斜率都为零，然后重画图 9.4b，得到图 9.4c。因此，原自由电子曲线被修正为图 9.4d 所示的形式。计入所有布拉格平面及其相应傅里叶分量后，最终得到如图 9.4e 所示的一组曲线。这种特定的能级表示方法称为扩展区图式。

如果坚持用第一布里渊区中的波矢 $k$ 指定所有能级，就必须将图 9.4e 中的各段通过倒格矢平移到第一布里渊区内。结果见图 9.4f。这就是简约区图式（见第 142 页）。

还可以将图 9.4f 周期性地延拓到整个 $k$ 空间中，得到图 9.4g，从而强调 $k$ 空间中标记的周期性；这突出表明，$k$ 处的一个特定能级，可以用任何与 $k$ 相差一个倒格矢的波矢描述。这种表示就是重复区图式（见第 142 页）。简约区图式用位于第一布里渊区内的 $k$ 为每个能级标记，而扩展区图式采用强调与自由电子能级连续衔接的标记。重复区图式是最一般的表示方法，但具有大量重复，因为对所有等价波矢 $k$、$k\pm K$、$k\pm2K$、$\ldots$，同一个能级会显示多次。

三维能量—波矢曲线

在三维中，有时沿 $k$ 空间中的特定直线绘制 $\mathcal{E}$ 对 $\boldsymbol{k}$ 的曲线，以表示能带结构。这类曲线通常用简约区图式表示，因为对 $k$ 空间中的一般方向，它们并不具有周期性。即使在完全自由电子近似中，这些曲线也惊人地复杂。图 9.5 给出一个例子：沿图示特定直线改变 $\boldsymbol{k}$，对所有足够接近原点、能量低于纵轴量程上限的倒格矢 $\boldsymbol{K}$，绘制 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K}}^{0}=\hbar^2(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K})^2/2m$ 的值，即得到此图。

注意，大多数曲线具有高度简并。这是因为绘制能量所沿的方向都是具有相当高对称性的线，因此，线上各点到其他几个倒格矢的距离，很可能与到任意给定倒格矢的距离一样。加入弱周期势，一般会消除其中一部分简并，但不一定消除全部。常用数学群论（theory of groups）来确定这种简并如何劈裂。

能隙（energy gap）

十分一般地说，弱周期势会在布拉格平面处引入“能隙”。其含义如下：当 $U_{\boldsymbol{K}}=0$ 时，$\boldsymbol{k}$ 穿过布拉格平面，能量从 (9.26) 的较低根连续变化到较高根，如图 9.4b 所示。当 $U_{\boldsymbol{K}}\ne0$ 时，情况不再如此。穿过布拉格平面时，只有始终沿着较低根（或较高根），能量才随 $\boldsymbol{k}$ 连续变化，如图 9.4c 所示。现在，如果要在 $\boldsymbol{k}$ 连续变化时改变分支，能量就必须至少发生 $2|U_{\boldsymbol{K}}|$ 的不连续变化。

第 12 章将说明，两个能带在数学上的分离也体现为物理上的分离：当外场作用使电子波矢变化时，能隙的存在要求电子穿过布拉格平面后，必须进入一个能量仍属于 $\mathcal{E}(\boldsymbol{k})$ 原有分支的能级。正是这一性质，使能隙对电子输运性质具有根本的重要性。

布里渊区

利用弱周期势中的电子理论确定三维晶体的完整能带结构，会涉及非常复杂的几何构造。最重要的往往是确定费米面（第 141 页）及 $\mathcal{E}_n(\boldsymbol{k})$ 在费米面紧邻区域的行为。

对于弱势，首先画出以 $\boldsymbol{k}=0$ 为中心的自由电子费米球。其次注意，费米球穿过一个布拉格平面时，会发生以图 9.6 为典型的形变；¹¹ 经过几个布拉格平面附近时，则发生相应更复杂的形变。计入所有布拉格平面的影响后，在扩展区图式中，费米面就表示为一个被分割的球面。要在重复区图式中构造各能带内的费米面部分，可以从以所有倒格点为中心的自由电子球出发，作类似的构造。要在简约区图式中构造费米面，可以将单个被分割球面的所有片段通过倒格矢平移回第一布里渊区。借助高阶布里渊区（higher Brillouin zones）的几何概念，可以使这一过程系统化。

回顾一下，第一布里渊区是倒格子的维格纳—赛茨原胞（Wigner-Seitz primitive cell）（第 73、89 页），即到 $\boldsymbol{K}=0$ 的距离小于到任何其他倒格点距离的点集。由于布拉格平面平分连接原点与倒格点的线段，也可以将第一布里渊区定义为从原点出发，不穿过任何布拉格平面就能到达的点集。¹²

高阶布里渊区就是以布拉格平面为边界的其他区域，定义如下：

第一布里渊区是 $k$ 空间中从原点出发，不穿过任何布拉格平面就能到达的点集。第二布里渊区是从第一布里渊区出发，只穿过一个布拉格平面就能到达的点集。第 $(n+1)$ 布里渊区是从第 $n$ 区出发，只穿过一个布拉格平面就能到达、且不属于第 $(n-1)$ 区的点集。

另一种定义是：第 $n$ 布里渊区是从原点出发，穿过 $n-1$ 个布拉格平面就能到达、而穿过更少平面不能到达的点集。

图 9.7 在二维中说明这些定义。图 9.8 给出 fcc 和 bcc 格子的前三个区的表面。这两种定义都强调一个物理上重要的事实：布里渊区以布拉格平面为边界。因此，在这些区域的表面，弱周期势的影响很重要（即一阶影响），而在内部，自由电子能级只受到二阶微扰。

必须注意，每个布里渊区都是倒格子的一个原胞。这是因为，第 $n$ 布里渊区就是以原点为第 $n$ 近倒格点的点集（一个倒格点 $\boldsymbol{K}$ 到点 $\boldsymbol{k}$ 的距离小于 $\boldsymbol{k}$ 到原点的距离，当且仅当由 $\boldsymbol{K}$ 确定的布拉格平面将 $\boldsymbol{k}$ 与原点隔开）。据此，只要在整个论证中将“最近邻”替换为“第 $n$ 近邻”，第 $n$ 布里渊区是原胞的证明，就与第 73 页证明维格纳—赛茨胞（即第一布里渊区）为原胞的证明完全相同。

由于每个区都是原胞，在重复区图式中构造费米面分支有一个简单的算法：¹³

1. 画出自由电子费米球。
2. 在每个布拉格平面紧邻区域，使它略微形变（如图 9.6 所示）。（在势极弱的极限下，有时在第一步近似中忽略这一步。）
3. 取自由电子球面位于第 $n$ 布里渊区内的部分，并通过所有倒格矢将其平移。所得曲面就是重复区图式中的费米面分支（按惯例归入第 $n$ 能带）。¹⁴

一般而言，对于不执行步骤 2 而由自由电子费米球构造的曲面，弱周期势的作用只是将尖锐的棱和角变圆。不过，如果某个费米面分支由很小的曲面片段组成（包围已占据或未占据的能级，称为“电子袋”或“空穴袋”，pockets of holes），弱周期势可能使它们消失。此外，如果自由电子费米面有截面很窄的部分，弱周期势可能使它在这些位置断开。

图 9.10 给出适用于讨论 fcc 晶体中近自由电子的其他一些构造。这些类似自由电子的费米面，对理解许多金属的实际费米面十分重要。第 15 章将说明这一点。

有基元的单原子晶格中的几何结构因子

此前的讨论只利用势 $U(\boldsymbol{r})$ 的周期性，以及为方便起见所采用的反演对称性，未利用它的任何其他性质。如果更仔细地考察 $U$ 的形式，认识到它由以离子位置为中心的各原子势相加组成，就能进一步得出一些结论；这些结论对研究有基元的单原子晶格的电子结构很重要，例如金刚石结构和六角密排（hexagonal close-packed，hcp）结构。

假定基元由位于 $\boldsymbol{d}_j$ 的相同离子组成。那么周期势 $U(\boldsymbol{r})$ 具有以下形式：

$$ U(\boldsymbol{r})=\sum_{\boldsymbol{R}}\sum_j\phi(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}-\boldsymbol{d}_j). \tag{9.31} $$

将其代入 $U_{\boldsymbol{K}}$ 的式 (8.32)，得到

$$ \begin{aligned}U_{\boldsymbol{K}}&=\frac{1}{v}\int_{\text{原胞}}d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}}\sum_{\boldsymbol{R},j}\phi(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}-\boldsymbol{d}_j)\\&=\frac{1}{v}\int_{\substack{\text{全}\\\text{空间}}}d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}}\sum_j\phi(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{d}_j),\end{aligned} \tag{9.32} $$

或者

$$ U_{\boldsymbol{K}}=\frac{1}{v}\phi(\boldsymbol{K})S_{\boldsymbol{K}}^{*}, \tag{9.33} $$

其中 $\phi(\boldsymbol{K})$ 是原子势的傅里叶变换（Fourier transform），

$$ \phi(\boldsymbol{K})=\int_{\substack{\text{全}\\\text{空间}}}d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}}\phi(\boldsymbol{r}), \tag{9.34} $$

$S_{\boldsymbol{K}}$ 是讨论 X 射线衍射时（第 6 章）引入的几何结构因子：

$$ S_{\boldsymbol{K}}=\sum_j e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{d}_j}. \tag{9.35} $$

因此，当基元使某些布拉格平面的结构因子为零，即这些平面的 X 射线衍射峰缺失时，与这些平面对应的周期势傅里叶分量为零；也就是说，自由电子能级的最低阶劈裂消失。

这一结果对六角密排结构金属的理论特别重要，这类金属有 25 种以上（表 4.4）。简单六角格子的第一布里渊区，是以正六边形为底的棱柱。不过，与棱柱六角形顶面和底面对应的结构因子为零（第 6 章习题 3）。

因此，根据近自由电子理论，在这些面上自由电子能级没有一阶劈裂。二阶（及更高阶）效应似乎仍可能造成微小劈裂。不过，如果单电子哈密顿量与自旋无关，就可以证明，在 hcp 结构中，波矢 $\boldsymbol{k}$ 位于第一布里渊区六角面上的任何布洛赫能级，至少为二重简并。因此，劈裂严格为零。在这种情况下，考虑一种实际忽略零能隙平面的区结构表示，往往更为方便。由此得到的区域称为琼斯区（Jones zones）或大区（large zones）。

高对称点处自旋—轨道耦合的重要性

此前，我们一直认为电子自旋在动力学上完全不起作用。不过，实际上，电子穿过电场运动时，例如在周期势 $U(\boldsymbol{r})$ 的电场中运动时，会感受到一个势，该势正比于自旋磁矩与其速度和电场的矢量积所作的标量积。这一附加相互作用称为自旋—轨道耦合，在原子物理中十分重要（见第 31 章）。计算 $k$ 空间中高对称点（points of high symmetry）的近自由电子能级时，自旋—轨道耦合很重要，因为忽略它时严格简并的能级，常会因自旋—轨道耦合而劈裂。

例如，hcp 金属第一布里渊区六角面上的电子能级劈裂，完全来自自旋—轨道耦合。由于自旋—轨道耦合的强度随原子序数增大，这一劈裂在重的六角金属中明显，而在轻的金属中可能小到可以忽略。相应地，构造六角金属类似自由电子的费米面有两种不同图式，见图 9.11、9.12。

习题

1. 单个布拉格平面附近的近自由电子费米面

为研究 (9.26) 所给的近自由电子能带结构在布拉格平面附近的情况，方便的做法是相对于布拉格平面上的 $\frac12\boldsymbol{K}$ 点测量波矢 $\boldsymbol{q}$。如果写为 $\boldsymbol{q}=\frac12\boldsymbol{K}+\boldsymbol{k}$，并将 $\boldsymbol{k}$ 分解为平行（$k_{\parallel}$）和垂直（$k_{\perp}$）于 $\boldsymbol{K}$ 的分量，则 (9.26) 成为

$$ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{K}/2}^{0}+\frac{\hbar^2}{2m}k^2\pm\left(4\mathcal{E}_{\boldsymbol{K}/2}^{0}\frac{\hbar^2}{2m}k_{\parallel}^{2}+|U_{\boldsymbol{K}}|^2\right)^{1/2}. \tag{9.36} $$

相对于 (9.36) 所给两个能带在布拉格平面上所取的最低值来测量费米能 $\mathcal{E}_F$，也很方便，写为：

$$ \mathcal{E}_F=\mathcal{E}_{\boldsymbol{K}/2}^{0}-|U_{\boldsymbol{K}}|+\Delta, \tag{9.37} $$

这样，当 $\Delta\lt 0$ 时，没有费米面与布拉格平面相交。

(a) 证明，当 $0\lt \Delta\lt 2|U_{\boldsymbol{K}}|$ 时，费米面完全位于下方能带，并与布拉格平面相交于半径为下式的圆：

$$ \rho=\sqrt{\frac{2m\Delta}{\hbar^2}}. \tag{9.38} $$

(b) 证明，如果 $\Delta\gt |2U_{\boldsymbol{K}}|$，费米面位于两个能带内，与布拉格平面相交于半径为 $\rho_1$、$\rho_2$ 的两个圆（图 9.6）；并证明两圆的面积差为

$$ \pi(\rho_2^2-\rho_1^2)=\frac{4m\pi}{\hbar^2}|U_{\boldsymbol{K}}|. \tag{9.39} $$

（在某些金属中，这些圆的面积可以通过德哈斯—范阿尔芬效应（de Haas-van Alphen effect）（第 14 章）直接测量，因此，这类近自由电子金属的 $|U_{\boldsymbol{K}}|$ 可以直接由实验确定。）

2. 两能带模型的能级密度

本题在某种程度上是人为构造的，因为被忽略的布拉格平面的影响，可能造成与这里求得的相对于自由电子结果的偏差相当的修正。另一方面，本题的定性特征具有一般性，因此仍有启发意义。

如果将 $\boldsymbol{q}$ 分解为平行（$q_{\parallel}$）和垂直（$q_{\perp}$）于 $\boldsymbol{K}$ 的分量，则 (9.26) 成为

$$ \mathcal{E}=\frac{\hbar^2}{2m}q_{\perp}^{2}+h_{\pm}(q_{\parallel}), \tag{9.40} $$

其中

$$ \begin{aligned}h_{\pm}(q_{\parallel})&=\frac{\hbar^2}{2m}\left[q_{\parallel}^{2}+\tfrac12(K^2-2q_{\parallel}K)\right]\\&\quad\pm\left\{\left[\frac{\hbar^2}{2m}\tfrac12(K^2-2q_{\parallel}K)\right]^2+|U_{\boldsymbol{K}}|^2\right\}^{1/2}\end{aligned} \tag{9.41} $$

仅为 $q_{\parallel}$ 的函数。采用 $z$ 轴沿 $\boldsymbol{K}$ 的柱坐标，在适当原胞内对波矢 $\boldsymbol{q}$ 积分，即可由 (8.57) 求出能级密度。

(a) 证明，对 $\boldsymbol{q}$ 积分后，每个能带的结果为

$$ g(\mathcal{E})=\frac{1}{4\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)(q_{\parallel}^{\max}-q_{\parallel}^{\min}), \tag{9.42} $$

其中，对于每个能带，$q_{\parallel}^{\max}$ 和 $q_{\parallel}^{\min}$ 是 $\mathcal{E}=h_{\pm}(q_{\parallel})$ 的解。验证在 $|U_{\boldsymbol{K}}|\to0$ 极限下，得到熟悉的自由电子结果。

(b) 对下方能带，如果等能面（能量为 $\mathcal{E}$）与区平面相交（即 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{K}/2}^{0}-|U_{\boldsymbol{K}}|\leq\mathcal{E}\leq\mathcal{E}_{\boldsymbol{K}/2}^{0}+|U_{\boldsymbol{K}}|$），证明

$$ q_{\parallel}^{\min}=-\sqrt{\frac{2m\mathcal{E}}{\hbar^2}}+O(U_{\boldsymbol{K}}^{2}),\quad(\mathcal{E}\gt 0),\quad q_{\parallel}^{\max}=\tfrac12K \tag{9.43} $$

校对注：式（9.43）的上限使用倒格矢的模 $K$，而非矢量。

(c) 证明，对于上方能带，(9.42) 应理解为给出以下能级密度：

$$ g_+(\mathcal{E})=\frac{1}{4\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)(q_{\parallel}^{\max}-\tfrac12K),\quad\text{对于 }\mathcal{E}\gt \mathcal{E}_{\boldsymbol{K}/2}+|U_{\boldsymbol{K}}|. \tag{9.44} $$

(d) 证明，$dg/d\mathcal{E}$ 在 $\mathcal{E}=\mathcal{E}_{\boldsymbol{K}/2}\pm|U_{\boldsymbol{K}}|$ 处具有奇异性，因此能级密度具有图 9.13 所示的形式。（这些奇点并非弱势近似或两能带近似所特有。见第 145 页。）

3. 布拉格平面相交的 $k$ 空间位置处弱周期势的影响

考虑图示 fcc 结构布里渊区中的 W 点（$\boldsymbol{k}_W=(2\pi/a)(1,\frac12,0)$）（见图 9.14）。此处三个布拉格平面（$(200)$、$(111)$、$(11\bar1)$）相交，相应的自由电子能量

$$ \begin{aligned}\mathcal{E}_1^{0}&=\frac{\hbar^2}{2m}k^2,\\\mathcal{E}_2^{0}&=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol{k}-\frac{2\pi}{a}(1,1,1)\right)^2,\\\mathcal{E}_3^{0}&=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol{k}-\frac{2\pi}{a}(1,1,\bar1)\right)^2,\\\mathcal{E}_4^{0}&=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol{k}-\frac{2\pi}{a}(2,0,0)\right)^2\end{aligned} \tag{9.45} $$

在 $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}_W$ 时简并，并等于 $\mathcal{E}_W=\hbar^2k_W^2/2m$。

(a) 证明，在 W 点附近的 $k$ 空间区域中，一阶能量由下式的解给出：¹⁵

$$ \begin{vmatrix}\mathcal{E}_1^{0}-\mathcal{E}&U_1&U_1&U_2\\U_1&\mathcal{E}_2^{0}-\mathcal{E}&U_2&U_1\\U_1&U_2&\mathcal{E}_3^{0}-\mathcal{E}&U_1\\U_2&U_1&U_1&\mathcal{E}_4^{0}-\mathcal{E}\end{vmatrix}=0 $$

其中 $U_2=U_{200}$、$U_1=U_{111}=U_{11\bar1}$；并证明在 W 点，根为

$$ \mathcal{E}=\mathcal{E}_W-U_2\quad\text{（二重）},\quad\mathcal{E}=\mathcal{E}_W+U_2\pm2U_1. \tag{9.46} $$

(b) 用类似方法，证明 $U$ 点（$\boldsymbol{k}_U=(2\pi/a)(1,\frac14,\frac14)$）处的能量为

$$ \mathcal{E}=\mathcal{E}_U-U_2,\quad\mathcal{E}=\mathcal{E}_U+\tfrac12U_2\pm\tfrac12(U_2^2+8U_1^2)^{1/2}, \tag{9.47} $$

其中 $\mathcal{E}_U=\hbar^2k_U^2/2m$。

4. 布里渊区的另一种定义

令 $\boldsymbol{k}$ 为倒空间中的一个点。假定以除原点以外的每个倒格点 $\boldsymbol{K}$ 为中心，画出半径为 $k$ 的球。证明，如果 $\boldsymbol{k}$ 位于 $n-1$ 个球的内部，而且不在任何球的表面上，那么它位于第 $n$ 布里渊区内部。证明，如果 $\boldsymbol{k}$ 位于 $n-1$ 个球的内部，并位于另外 $m$ 个球的表面上，那么它就是第 $n$、第 $(n+1)$、$\ldots$、第 $(n+m)$ 布里渊区边界共有的点。

5. 二维正方形格子的布里渊区

考虑晶格常数为 $a$ 的二维正方形格子。

(a) 以 $2\pi/a$ 为单位，写出每个原胞可容纳 $m$ 个自由电子的圆的半径。构造一张表，列出当 $m=1,2,\ldots,12$ 时，正方形格子的前七个区（图 9.15a）中，哪些完全填满，哪些部分为空，哪些完全为空。验证，当 $m\leq12$ 时，已占据能级完全位于前七个区内；而当 $m\geq13$ 时，第八及更高区的能级开始被占据。

(b) 对 $m=1,2,\ldots,7$ 各种情形，在适当原胞中画出费米面的全部分支。例如，$m=4$ 时的第三区曲面可以表示为图 9.15b。