非均匀半导体（Inhomogeneous Semiconductors）

本文是「固体物理学」系列的第 29 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 29 章的中文译稿。

音乐爱好者使用“固态物理”（solid state physics）一词时，只指非均匀半导体这一主题；如果装饰在无数调谐器和放大器面板上的，是后一个词组，会更准确。流行的用法反映以下事实：现代固态物理最显著、最广泛的技术影响，是通过半导体器件的电子性质产生的。这些器件使用半导体晶体，其中施主和受主杂质的浓度，经过仔细控制而变得不均匀。这里不打算综述种类繁多的半导体器件，只描述其工作所依据的基本物理原理。无论有无外加静电势，这些原理都决定电子、空穴的密度和电流如何分布在非均匀半导体中。

理想情况下，所关注的非均匀半导体是单晶，其中施主和受主杂质的局部浓度随位置变化。制造这类晶体的一种方法，是在缓慢拉出正在生长的晶体时，改变“熔体”（melt）中的杂质浓度，从而使杂质浓度沿某一空间方向变化。需要精细的制造方法，因为通常为了高效工作，杂质浓度变化不应伴随电子散射的大幅增加。

用最简单的例子，即 $p$-$n$ 结（p-n junction），说明非均匀半导体的物理。这是一种半导体晶体，其杂质浓度只沿某一给定方向（取为 $x$ 轴），且只在一个小区域（取为 $x=0$ 附近）内变化。在负 $x$ 一侧，晶体以受主杂质为主，即为 $p$ 型；在正 $x$ 一侧，则以施主杂质为主，即为 $n$ 型（图 29.1）。施主和受主密度 $N_d(x)$、$N_a(x)$ 随位置变化的方式，称为“掺杂分布”（doping profile）。“结”既指整个器件，也更具体地指 $x=0$ 附近掺杂分布不均匀的过渡区域。

下文将看到，杂质浓度的不均匀使导带电子和价带空穴的密度 $n_c(x)$、$p_v(x)$ 不均匀，进而产生电势 $\phi(x)$。这些载流子密度不均匀的区域，称为“耗尽层”，或“空间电荷区”（space-charge region）。将会看到，耗尽层可在掺杂分布变化的、通常更窄的过渡区域周围，延伸约 $10^2$ 至 $10^4$ Å。除靠近边界的部分外，耗尽层内总载流子密度，远小于离过渡区域更远的均匀区域内的密度。耗尽层的存在是 $p$-$n$ 结的关键性质之一。主要关注的问题之一，是解释杂质浓度的变化为何产生这一层，以及施加外部电势 $V$ 时，其结构如何改变。

为简单起见，只考虑“突变结”：过渡区域十分陡峭，因此杂质浓度的变化¹ 可以表示为 $x=0$ 处的单次不连续变化：

$$ \begin{aligned}N_d(x)&=\left\{\begin{array}{ll}N_d,&x\gt 0\\0,&x\lt 0\end{array}\right\},\\N_a(x)&=\left\{\begin{array}{ll}0,&x\gt 0\\N_a,&x\lt 0\end{array}\right\}.\end{aligned} \tag{29.1} $$

突变结不仅概念上最简单，也是实际应用中最重要的一类。为使 (29.1) 合理描述实际的结，真实过渡区域必须多陡，将在下文分析中给出。将会发现，如果实际掺杂分布的过渡区域范围，与耗尽层相比很小，就可将结视为突变结。多数情况下，这允许过渡区域延伸 100 Å 或更大。不能作为突变结处理的结，称为“缓变结”（graded junction）。

半经典模型

计算非均匀半导体对外加静电势的响应，甚至计算没有外加电势时的电荷分布，几乎总是采用第 12 章的半经典模型。当电势 $\phi(x)$ 叠加到晶体周期势上时，半经典模型将第 $n$ 条能带中的电子视为经典粒子，即波包，由以下哈密顿量支配：

$$ H_n=\mathcal E_n\left(\frac{\boldsymbol{p}}{\hbar}\right)-e\phi(x). \tag{29.2} $$

只要电势 $\phi(x)$ 的变化足够缓慢，这种处理就是有效的。一般而言，要回答这种变化必须有多缓慢，是一个非常困难的问题。最起码，在与晶格常数量级相当的距离内，静电能的变化 $e\Delta\phi$ 必须远小于带隙 $E_g$；不过，实际条件很可能比这还要严格。² 对于 $p$-$n$ 结，电势 $\phi$ 的空间变化几乎全部集中在耗尽层内。我们将看到，在这一层内，能量 $e\phi$ 在通常为几百埃或更长的距离上变化约 $E_g$（因此，耗尽层内的电场可高达每米 $10^6$ 伏）。尽管这满足半经典模型有效的最低必要条件（在一个晶格常数的距离内，$e\phi$ 的变化不超过 $E_g$ 的百分之一的一小部分），这种变化仍然足够强，不能排除半经典描述在耗尽层内失效的可能性。因此应当记住，耗尽层内的电场可能强到足以使电子从价带能级隧穿（tunneling）到导带能级，从而使电导率大大超过半经典预测值。

不过，在提出这一提醒之后，我们仍将遵循通常的做法，假定半经典描述有效，以便探究其推论。在介绍外加电势存在时流过 $p$-$n$ 结的电流的半经典理论之前，我们先考察没有外加电势、没有电流流动而处于热平衡的 $p$-$n$ 结。

平衡态的 $p$-$n$ 结

我们希望确定由非均匀掺杂引起的载流子密度和静电势 $\phi(x)$。我们假定整个材料都满足非简并条件（nondegenerate conditions），因此每个位置 $x$ 处的载流子密度都具有“麦克斯韦”（Maxwellian）形式，与均匀情况下得到的密度式（28.12）类似。在非均匀情况下，要推导电势 $\phi(x)$ 存在时沿结方向位置 $x$ 处的载流子密度，半经典方法只需重复均匀情况的分析，但使用半经典单电子能量式（29.2），其中每个能级都移动了 $-e\phi(x)$。采用式（28.3）中适用于导带极小值或价带极大值附近能级的 $\mathcal E(\boldsymbol{k})$ 形式，我们看到，其作用只是把常数 $\mathcal E_c$ 和 $\mathcal E_v$ 移动 $-e\phi(x)$。因此，平衡载流子密度的式（28.12）推广为

$$ \begin{aligned}n_c(x)&=N_c(T)\exp\left\{-\frac{[\mathcal E_c-e\phi(x)-\mu]}{k_BT}\right\},\\p_v(x)&=P_v(T)\exp\left\{-\frac{[\mu-\mathcal E_v+e\phi(x)]}{k_BT}\right\}.\end{aligned} \tag{29.3} $$

电势 $\phi(x)$ 必须自洽地确定：它应当是载流子密度具有式（29.3）的形式时，通过泊松方程（Poisson's equation）所产生的电势。我们考察这一问题的一种特殊情况（这同样是实际意义最大的一种情况）：在过渡区两侧远离过渡区的地方，都处于杂质导电状态（extrinsic conditions），杂质完全“电离”（见第 583–584 页）。因此，在 $n$ 侧远处，导带电子的密度几乎等于施主密度 $N_d$；而在 $p$ 侧远处，价带空穴的密度几乎等于受主密度 $N_a$：

$$ \begin{aligned}N_d&=n_c(\infty)=N_c(T)\exp\left\{-\frac{[\mathcal E_c-e\phi(\infty)-\mu]}{k_BT}\right\},\\N_a&=p_v(-\infty)=P_v(T)\exp\left\{-\frac{[\mu-\mathcal E_v+e\phi(-\infty)]}{k_BT}\right\}.\end{aligned} \tag{29.4} $$

由于整个晶体处于热平衡，化学势不随位置变化。特别地，式（29.4）的两式中出现的是同一个 $\mu$ 值；这立即要求结两端的总电势降满足³

$$ e\phi(\infty)-e\phi(-\infty)=\mathcal E_c-\mathcal E_v+k_BT\ln\left[\frac{N_dN_a}{N_cP_v}\right], \tag{29.5} $$

或

$$ \boxed{e\,\Delta\phi=E_g+k_BT\ln\left[\frac{N_dN_a}{N_cP_v}\right].} \tag{29.6} $$

式（29.3）和（29.6）所包含的信息，有时用另一种方式表示会有所帮助。若定义一个随位置变化的“电化学势”（electrochemical potential）$\mu_e(x)$，使

$$ \mu_e(x)=\mu+e\phi(x), \tag{29.7} $$

则载流子密度式（29.3）可写为

$$ \begin{aligned}n_c(x)&=N_c(T)\exp\left\{-\frac{[\mathcal E_c-\mu_e(x)]}{k_BT}\right\},\\p_v(x)&=P_v(T)\exp\left\{-\frac{[\mu_e(x)-\mathcal E_v]}{k_BT}\right\}.\end{aligned} \tag{29.8} $$

这些式子的形式与均匀半导体的关系式（28.12）完全相同，只是常数化学势 $\mu$ 被电化学势 $\mu_e(x)$ 代替。因此，$\mu_e(\infty)$ 是一个均匀 $n$ 型晶体的化学势，该晶体的性质与非均匀晶体在过渡区 $n$ 侧远处的性质相同；而 $\mu_e(-\infty)$ 是一个均匀 $p$ 型晶体的化学势，该晶体与非均匀晶体在 $p$ 侧远处相同。关系式（29.6）也可以写成⁴

$$ e\,\Delta\phi=\mu_e(\infty)-\mu_e(-\infty). \tag{29.9} $$

图 29.2a 给出了电化学势随沿 $p$-$n$ 结位置的变化曲线。我们假定（下面将加以证明）$\phi$ 从一端到另一端单调变化。图 29.2b 用另一种方式表示了同样的信息：把导致式（29.3）中位置依赖性的电势 $\phi$ 视为使 $\mathcal E_c$（或 $\mathcal E_v$）移动，而不是使 $\mu$ 移动。无论采用哪种方式，这些图的意义都是：在沿结方向的任意位置 $x$，载流子密度等于一块均匀材料中的载流子密度，该材料的杂质浓度与 $x$ 处的杂质浓度相同，其化学势相对于带边的位置则如图在 $x$ 处的竖直截面所示。

式（29.6）（或其等价形式（29.9））是确定电势 $\phi(x)$ 的微分方程的边界条件。这个微分方程就是泊松方程，⁵

$$ -\nabla^2\phi=-\frac{d^2\phi}{dx^2}=\frac{4\pi\rho(x)}{\epsilon}, \tag{29.10} $$

它把电势 $\phi(x)$ 与产生该电势的电荷分布 $\rho(x)$ 联系起来。为了用 $\phi$ 表示 $\rho(x)$ 并得到一个封闭方程，我们首先注意到：如果杂质在远离结的地方完全电离（正如我们所假定的），那么它们在所有 $x$ 处都会保持完全电离。⁶ 因而，杂质和载流子产生的电荷密度为⁷

$$ \rho(x)=e[N_d(x)-N_a(x)-n_c(x)+p_v(x)]. \tag{29.11} $$

把载流子和杂质密度式（29.3）与（29.1）代入电荷密度式（29.11），再把所得结果代入泊松方程（29.10），就得到一个关于 $\phi(x)$ 的非线性微分方程，其精确解通常需要用数值方法求得。⁸ 不过，利用 $e\phi$ 的总变化量为 $E_g\gg k_BT$ 这一量级的事实，可以对 $\phi(x)$ 作出相当合理的描述。将式（29.3）和（29.4）合并写成下式，这一事实的意义就显现出来了：

$$ \begin{aligned}n_c(x)&=N_de^{-e[\phi(\infty)-\phi(x)]/k_BT},\\p_v(x)&=N_ae^{-e[\phi(x)-\phi(-\infty)]/k_BT}.\end{aligned} \tag{29.12} $$

假设 $\phi$ 的变化发生在区域 $-d_p\leq x\leq d_n$ 内。在该区域之外，$\phi$ 具有其渐近值，因此在 $n$ 侧有 $n_c=N_d$，在 $p$ 侧有 $p_v=N_a$，并且 $\rho=0$。在区域内部，除非常接近边界的地方以外，$e\phi$ 与其渐近值相差许多个 $k_BT$，所以 $n_c\ll N_d$、$p_v\ll N_a$。因此，除了 $x=-d_p$ 和 $x=d_n$ 附近以外，在 $-d_p$ 与 $d_n$ 之间，电荷密度式（29.11）可以相当准确地写为 $\rho(x)=e[N_d(x)-N_a(x)]$，因为没有足够多的载流子电荷来抵消“电离”杂质的电荷。因此，$x=-d_p$ 和 $x=d_n$ 这两点标志着耗尽层的边界。

综合这些观察结果，并采用杂质密度式（29.1），我们发现：除了 $x$ 略大于 $-d_p$ 或略小于 $d_n$ 的地方以外，泊松方程可以很好地近似为

$$ \phi''(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x\gt d_n,\\\dfrac{-4\pi eN_d}{\epsilon},&d_n\gt x\gt 0,\\\dfrac{4\pi eN_a}{\epsilon},&0\gt x\gt -d_p,\\0,&-d_p\gt x.\end{array}\right\} \tag{29.13} $$

直接积分就得到

$$ \phi(x)=\left\{\begin{array}{ll}\phi(\infty),&x\gt d_n,\\\phi(\infty)-\left(\dfrac{2\pi eN_d}{\epsilon}\right)(x-d_n)^2,&d_n\gt x\gt 0,\\\phi(-\infty)+\left(\dfrac{2\pi eN_a}{\epsilon}\right)(x+d_p)^2,&0\gt x\gt -d_p,\\\phi(-\infty),&x\lt -d_p.\end{array}\right\} \tag{29.14} $$

解（29.14）在 $x=-d_p$ 和 $x=d_n$ 处明确满足边界条件（$\phi$ 及其一阶导数连续）。要求这些条件在 $x=0$ 处也成立，就得到两个确定长度 $d_n$ 和 $d_p$ 的附加方程。$\phi'$ 在 $x=0$ 处连续意味着

$$ N_dd_n=N_ad_p, \tag{29.15} $$

这正是要求结的 $n$ 侧的过剩正电荷等于 $p$ 侧的过剩负电荷的条件。$\phi$ 在 $x=0$ 处连续要求

$$ \left(\frac{2\pi e}{\epsilon}\right)(N_dd_n^2+N_ad_p^2)=\phi(\infty)-\phi(-\infty)=\Delta\phi. \tag{29.16} $$

该式与式（29.15）一起确定长度 $d_n$ 和 $d_p$：

$$ d_{n,p}=\left\{\frac{(N_a/N_d)^{\pm1}}{(N_d+N_a)}\frac{\epsilon\Delta\phi}{2\pi e}\right\}^{1/2}. \tag{29.17} $$

为了估算这些长度的大小，可以把式（29.17）写成在数值计算上更方便的形式：

$$ d_{n,p}=10^5\left\{\frac{(N_a/N_d)^{\pm1}}{10^{-18}(N_d+N_a)}[\epsilon e\,\Delta\phi]_{\mathrm{eV}}\right\}^{1/2}\ \text{Å}. \tag{29.18} $$

量 $\epsilon e\,\Delta\phi$ 通常为 1 eV 量级，而典型的杂质浓度在每立方厘米 $10^{14}$ 至 $10^{18}$ 的范围内，因此，给出耗尽层范围的长度 $d_n$ 和 $d_p$ 一般从 $10^4$ 到 $10^2$ Å。耗尽层内的电场为 $\Delta\phi/(d_n+d_p)$ 量级；对于这样大小的 $d$，当能隙为 0.1 eV 时，电场因而在每米 $10^5$ 至 $10^7$ 伏的范围内。

由此得到的耗尽层图像如图 29.3 所示。如上所述，电势 $\phi$ 在层内单调变化。除了层的边界处以外，载流子浓度与杂质浓度相比可以忽略，因此电荷密度就是电离杂质的电荷密度。在耗尽层之外，载流子浓度与杂质浓度相抵，电荷密度为零。

形成这样一个载流子密度急剧降低的区域，其机制相对简单。假设最初能够设置某种载流子浓度，使晶体中的每一点都呈电中性。这样的分布无法维持，因为电子会开始从 $n$ 侧（那里电子浓度高）扩散到 $p$ 侧（那里电子浓度很低），而空穴则会向相反方向扩散。随着这种扩散持续进行，由此引起的电荷转移会建立一个阻止进一步扩散电流的电场，直到达到平衡分布；此时，电场对电流的作用恰好抵消扩散的作用。由于载流子的迁移能力很强，在这种平衡分布中，凡是电场具有显著值的地方，载流子密度都很低。这正是图 29.3 所描绘的情形。

$p$-$n$ 结整流作用的初步图像

现在考察施加外电压 $V$ 时 $p$-$n$ 结的行为。若施加 $V$ 使 $p$ 侧的电势相对于 $n$ 侧升高，我们就取 $V$ 为正。上面已经发现，当 $V=0$ 时，在掺杂从 $p$ 型变为 $n$ 型的过渡点附近，存在一个宽约 $10^2$ 至 $10^4$ Å 的耗尽层，其中的载流子密度远低于更远处均匀区域中的值。由于其载流子密度大幅降低，耗尽层的电阻将远高于均匀区域的电阻，因此整个器件可以看作一个串联电路，其中两个较低电阻之间夹着一个较高电阻。在这样的电路两端施加电势 $V$ 时，几乎全部电势降都会发生在高电阻区域。因此，即使存在外加电势 $V$，我们仍预期沿器件的电势 $\phi(x)$ 只在耗尽层内有显著变化。当 $V=0$ 时，我们发现 $\phi(x)$ 从耗尽层的 $p$ 侧到 $n$ 侧升高了式（29.6）给出的量（现在把它记为 $(\Delta\phi)_0$）；因此，当 $V\ne0$ 时，耗尽层两端的电势变化变为

$$ \Delta\phi=(\Delta\phi)_0-V. \tag{29.19} $$

随着耗尽层两端电势降的这种变化，耗尽层的大小也发生变化。给出耗尽层在结的 $n$ 侧和 $p$ 侧范围的长度 $d_n$ 与 $d_p$，由式（29.15）和（29.16）确定；这些式子只使用层两端的总电势降，以及载流子密度在层内几乎所有地方都大幅降低这一假定。下面将看到，当 $V\ne0$ 时，这一假定仍然有效，因此只要把 $\Delta\phi$ 取为 $(\Delta\phi)_0-V$，$d_n$ 和 $d_p$ 仍由式（29.17）给出。根据式（29.17），$d_n$ 和 $d_p$ 随 $(\Delta\phi)^{1/2}$ 变化，因此当 $V\ne0$ 时，

$$ d_{n,p}(V)=d_{n,p}(0)\left[1-\frac{V}{(\Delta\phi)_0}\right]^{1/2}. \tag{29.20} $$

图 29.4 说明了 $\phi$ 和耗尽层范围的这种变化。

为了推导 $p$-$n$ 结施加外电压而被“偏置”（biased）时，流过它的电流对 $V$ 的依赖关系，必须分别考察电子电流和空穴电流。在以下全部讨论中，我们用符号 $J$ 表示粒子数流密度（number current densities），用 $j$ 表示电流密度（electrical current densities），因此

$$ j_e=-eJ_e,\quad j_h=eJ_h. \tag{29.21} $$

当 $V=0$ 时，$J_e$ 和 $J_h$ 都为零。当然，这并不意味着没有单个载流子穿过结，而只是说向一个方向流动的电子（或空穴）数与向相反方向流动的数相同。当 $V\ne0$ 时，这种平衡被打破。例如，考察穿过耗尽层的空穴电流。它有两个分量：

1. 一股空穴电流从结的 $n$ 侧流向 $p$ 侧，称为空穴产生电流（generation current）。顾名思义，这股电流来自紧靠耗尽层 $n$ 侧、由于电子受热激发离开价带能级而产生的空穴。尽管 $n$ 侧这些空穴（“少数载流子”）的密度与电子（“多数载流子”，majority carriers）的密度相比极小，它们在输运穿过结的电流方面仍然起着重要作用。这是因为任何这样的空穴一旦进入耗尽层，就会立即被层内的强电场扫向结的 $p$ 侧，

   

   该电场存在于耗尽层内。由此产生的产生电流对耗尽层两端电势降的大小不敏感，因为任何空穴从 $n$ 侧进入耗尽层后，都会被扫过耗尽层而到达 $p$ 侧。⁹

2. 另一股空穴电流从结的 $p$ 侧流向 $n$ 侧，称为空穴复合电流（recombination current）。¹⁰ 耗尽层内的电场阻碍这样的电流，只有到达耗尽层边缘时具有足够热能、能够越过势垒的空穴，才对复合电流有贡献。这样的空穴数与 $e^{-e\Delta\phi/k_BT}$ 成正比，因此¹¹

   $$ J_h^{\mathrm{rec}}\propto e^{-e[(\Delta\phi)_0-V]/k_BT}. \tag{29.22} $$

与产生电流不同，复合电流对外加电压 $V$ 非常敏感。注意到当 $V=0$ 时，不可能有净空穴电流穿过结，就可以比较二者的大小：

$$ \left.J_h^{\mathrm{rec}}\right|_{V=0}=J_h^{\mathrm{gen}}. \tag{29.23} $$

结合式（29.22），这要求

$$ J_h^{\mathrm{rec}}=J_h^{\mathrm{gen}}e^{eV/k_BT}. \tag{29.24} $$

从结的 $p$ 侧流向 $n$ 侧的总空穴电流，等于复合电流减去产生电流：

$$ J_h=J_h^{\mathrm{rec}}-J_h^{\mathrm{gen}}=J_h^{\mathrm{gen}}(e^{eV/k_BT}-1). \tag{29.25} $$

同样的分析也适用于电子电流的各个分量，只是电子的产生电流和复合电流分别与对应的空穴电流方向相反。不过，由于电子所带电荷的符号相反，电子的产生电流和复合电流作为电流时，分别与空穴的产生电流和复合电流平行。因此，总电流密度为：

$$ \boxed{j=e(J_h^{\mathrm{gen}}+J_e^{\mathrm{gen}})(e^{eV/k_BT}-1).} \tag{29.26} $$

它具有整流器特有的高度不对称形式，如图 29.5 所示。

非平衡情况的一般物理特征

前面的讨论没有估算式（29.26）中前因子 $e(J_h^{\mathrm{gen}}+J_e^{\mathrm{gen}})$ 的大小。此外，在非平衡（$V\ne0$）情况下，局域载流子密度一般不能通过简单的平衡麦克斯韦关系式（29.3）由局域电势 $\phi$ 确定。对于非平衡情况，需要进一步分析，才能建立一个关于过渡区附近载流子密度的图像，其详细程度与平衡情况下给出的图像相当。

在这种更详细的方法中，把穿过结的电子电流和空穴电流分解为产生电流和复合电流，并没有特别大的帮助。相反，我们将在每一点 $x$（耗尽层内外均包括）写出方程，联系总电子电流和总空穴电流 $J_e(x)$ 与 $J_h(x)$、电子密度和空穴密度 $n_c(x)$ 与 $p_v(x)$，以及电势 $\phi(x)$（或等价地，电场 $E(x)=-d\phi(x)/dx$）。我们将得到五个这样的方程，原则上可以据此求出这五个量。这种方法是我们分析平衡（$V=0$）情况时所用方法的直接推广。在平衡态，电子电流和空穴电流为零，只有三个未知量；所用的三个方程是泊松方程，以及在热平衡时把 $n_c(x)$、$p_v(x)$ 与 $\phi(x)$ 联系起来的两个方程（29.3）。因此，非平衡问题可以看作：当 $V\ne0$、有电流流动时，寻找适当的方程来代替平衡关系式（29.3）。

首先注意到，当电场和载流子密度梯度同时存在时，载流子流密度可以写成两项之和：一项与电场成正比（漂移电流，drift current），另一项与密度梯度成正比（扩散电流，diffusion current）：

$$ \boxed{\begin{aligned}J_e&=-\mu_n n_cE-D_n\frac{dn_c}{dx},\\J_h&=\mu_p p_vE-D_p\frac{dp_v}{dx}.\end{aligned}} \tag{29.27} $$

式（29.27）中的正¹²比例常数 $\mu_n$ 与 $\mu_p$ 称为电子和空穴的迁移率（mobilities）。我们引入迁移率，而没有用电导率来表示漂移电流，是为了明确显示漂移电流如何依赖载流子密度。如果只有密度均匀的电子存在，那么 $\sigma E=j=-eJ_e=e\mu_n nE$。采用电导率的德鲁德形式 $\sigma=ne^2\tau/m$（式（1.6）），得到

$$ \mu_n=\frac{e\tau_n^{\mathrm{coll}}}{m_n}, \tag{29.28} $$

类似地，

$$ \mu_p=\frac{e\tau_p^{\mathrm{coll}}}{m_p}, \tag{29.29} $$

其中 $m_n$ 和 $m_p$ 是相应的有效质量，$\tau_n^{\mathrm{coll}}$ 和 $\tau_p^{\mathrm{coll}}$ 是载流子碰撞时间（collision times）。¹³

式（29.27）中的正¹⁴比例常数 $D_n$ 和 $D_p$ 称为电子和空穴的扩散常数（diffusion constants）。它们通过爱因斯坦关系（Einstein relations）与迁移率联系起来：¹⁵

$$ \boxed{\mu_n=\frac{eD_n}{k_BT},\quad\mu_p=\frac{eD_p}{k_BT}.} \tag{29.30} $$

爱因斯坦关系直接来自以下事实：电子电流和空穴电流在热平衡时必须为零。只有当迁移率和扩散常数满足关系式（29.30）时，在载流子密度具有平衡形式（29.3）¹⁶的情况下，式（29.27）给出的电流才为零（把式（29.3）直接代入式（29.27），很容易验证这一点）。

用密度梯度和电场给出电流的关系式（29.27），以及迁移率和扩散常数的形式（29.28）–（29.30），也可以直接由第一章中使用的那种简单动力学论证推导出来（见习题 2）。

注意，在热平衡时，式（29.27）以及条件 $J_e=J_h=0$ 包含了确定载流子密度所需的全部信息，因为当电流为零时，可以积分式（29.27），借助爱因斯坦关系（29.30），重新推导出热平衡密度式（29.3）。当 $V\ne0$、有电流流动时，需要另外的方程；它可以看作把平衡态电流为零的条件推广到非平衡情况。如果载流子数守恒，所需的推广就只是连续性方程（equations of continuity）：

$$ \begin{aligned}\frac{\partial n_c}{\partial t}&=-\frac{\partial J_e}{\partial x},\\\frac{\partial p_v}{\partial t}&=-\frac{\partial J_h}{\partial x},\end{aligned} \tag{29.31} $$

这些方程表达了如下事实：一个区域内载流子数的变化，完全由载流子流入和流出该区域的速率决定。然而，载流子数并不守恒。一个导带电子和一个价带空穴可以通过一个电子受热激发离开价带能级而产生。此外，一个导带电子和一个价带空穴可以复合（即电子落入作为空穴的空能级），使这两种载流子各消失一个。必须在连续性方程中加入一些项，描述区域内载流子数还可以发生变化的这些途径：

$$ \begin{aligned}\frac{\partial n_c}{\partial t}&=\left(\frac{dn_c}{dt}\right)_{g-r}-\frac{\partial J_e}{\partial x},\\\frac{\partial p_v}{\partial t}&=\left(\frac{dp_v}{dt}\right)_{g-r}-\frac{\partial J_h}{\partial x}.\end{aligned} \tag{29.32} $$

为了确定 $(dn_c/dt)_{g-r}$ 和 $(dp_v/dt)_{g-r}$ 的形式，我们注意到：当载流子密度偏离其平衡值时，产生和复合过程起着恢复热平衡的作用。在 $n_c$ 和 $p_v$ 超过其平衡值的区域，复合比产生更快，使载流子密度降低；而在它们低于平衡值的区域，产生比复合更快，使载流子密度升高。在最简单的模型中，这些过程由电子寿命和空穴寿命（lifetimes）¹⁷ $\tau_n$ 与 $\tau_p$ 描述。由复合和产生引起的每一种载流子密度的变化速率，被取为正比于它偏离由另一种载流子密度与质量作用定律（28.24）确定的形式的程度：

$$ \begin{aligned}\left(\frac{dn_c}{dt}\right)_{g-r}&=-\frac{(n_c-n_c^0)}{\tau_n},\\\left(\frac{dp_v}{dt}\right)_{g-r}&=-\frac{(p_v-p_v^0)}{\tau_p},\end{aligned} \tag{29.33} $$

其中 $n_c^0=n_i^2/p_v$，$p_v^0=n_i^2/n_c$。

为了解释这些方程，以第一式为例：它把无穷小时间 $dt$ 内由产生和复合引起的电子载流子密度变化表示为

$$ n_c(t+dt)=\left(1-\frac{dt}{\tau_n}\right)n_c(t)+\left(\frac{dt}{\tau_n}\right)n_c^0. \tag{29.34} $$

式（29.34）右边的第一项表示通过复合消灭占比为 $dt/\tau_n$ 的电子载流子；即 $\tau_n$ 是电子发生复合之前的平均寿命。右边的第二项表示由热激发产生每单位体积、每单位时间 $n^0/\tau_n$ 个电子载流子。注意，正如所要求的，式（29.33）给出的载流子密度在超过平衡值时降低，在低于平衡值时升高，而在等于平衡值时不变。

寿命 $\tau_n$ 和 $\tau_p$ 一般远长于电子或空穴的总体碰撞时间 $\tau_n^{\mathrm{coll}}$ 和 $\tau_p^{\mathrm{coll}}$，因为一个电子和一个空穴的复合（或产生）是带间跃迁（interband transition）（电子从价带进入导带是产生，从导带进入价带是复合）。普通碰撞保持载流子数不变，属于带内跃迁（intraband transitions）。与此相应，典型寿命在 $10^{-3}$ 至 $10^{-8}$ 秒之间，而碰撞时间与金属中相似，即 $10^{-12}$ 或 $10^{-13}$ 秒。

在静态外电势存在时，$p$-$n$ 结虽然不处于热平衡，却处于稳态（steady state）；即载流子密度不随时间变化：$dn_c/dt=dp_v/dt=0$。利用这一事实，以及式（29.33）给出的复合和产生使载流子密度变化的速率形式，连续性方程（29.32）要求

$$ \boxed{\begin{aligned}\frac{dJ_e}{dx}+\frac{n_c-n_c^0}{\tau_n}&=0,\\\frac{dJ_h}{dx}+\frac{p_v-p_v^0}{\tau_p}&=0.\end{aligned}} \tag{29.35} $$

当 $V\ne0$ 时，正是这些方程代替了平衡条件 $J_e=J_h=0$。

式（29.35）和（29.27）的一项非常重要的应用，是电场 $E$ 小到可以忽略、且多数载流子密度恒定的区域。在这种情况下，少数载流子的漂移电流与其扩散电流相比可以忽略，式（29.27）和（29.35）化为一个关于少数载流子密度的方程，其中复合时间为常数：

$$ \boxed{\begin{gathered}\begin{aligned}D_n\frac{d^2n_c}{dx^2}&=\frac{n_c-n_c^0}{\tau_n},\\D_p\frac{d^2p_v}{dx^2}&=\frac{p_v-p_v^0}{\tau_p}.\end{aligned}\qquad(E\approx0)\end{gathered}} \tag{29.36} $$

这些方程的解随 $x/L$ 按指数形式变化，其中长度

$$ L_n=(D_n\tau_n)^{1/2},\quad L_p=(D_p\tau_p)^{1/2}, \tag{29.37} $$

称为电子和空穴的扩散长度（diffusion lengths）。例如，假设（这里所取的情况在下文会有一定重要性）我们处于耗尽层 $n$ 侧的均匀电势区域，因此平衡密度 $p_v^0$ 具有恒定值 $p_v(\infty)=n_i^2/N_d$。如果在某一点 $x_0$ 处，空穴密度被约束为 $p_v(x_0)\ne p_v(\infty)$，那么式（29.36）在 $x\geq x_0$ 时的解为

$$ p_v(x)=p_v(\infty)+[p_v(x_0)-p_v(\infty)]e^{-(x-x_0)/L_p}. \tag{29.38} $$

因此，扩散长度衡量密度弛豫回平衡值所需的距离。

可以预期，能够维持密度偏离平衡值的距离 $L$，大致就是载流子在发生复合前可以行进的距离。从扩散长度 $L_n$ 和 $L_p$ 的形式（29.37）中，这一点并不立即显现；但利用以下关系改写式（29.37）后就能看出：（a）扩散常数与迁移率之间的爱因斯坦关系（29.30），

（b）迁移率的德鲁德形式（29.28）或（29.29）；（c）非简并条件下，载流子速度均方值与温度之间的关系 $\frac12 mv_{\mathrm{th}}^2=\frac32 k_BT$；（d）载流子两次碰撞之间平均自由程的定义 $\ell=v_{\mathrm{th}}\tau^{\mathrm{coll}}$。作这些代换后，得到：

$$ \begin{aligned}L_n&=\left(\frac{\tau_n}{3\tau_n^{\mathrm{coll}}}\right)^{1/2}\ell_n,\\L_p&=\left(\frac{\tau_p}{3\tau_p^{\mathrm{coll}}}\right)^{1/2}\ell_p.\end{aligned} \tag{29.39} $$

假定载流子每次碰撞后的方向都是随机的，那么连续的 $N$ 次碰撞可以看作步长为 $\ell$ 的随机游走（random walk）。很容易证明，¹⁸这种游走中的总位移为 $N^{1/2}\ell$。由于载流子在一个复合时间内经历的碰撞次数等于复合时间与碰撞时间之比，式（29.39）确实表明，扩散长度衡量载流子在发生复合前可以行进的距离。

采用第 604 页给出的碰撞时间和（长得多的）复合时间的典型值，式（29.39）给出的扩散长度可以在 $10^2$ 至 $10^5$ 个平均自由程之间。

可以用扩散长度和载流子寿命来估算 $I$-$V$ 关系式（29.26）中出现的产生电流的大小。首先注意到，按照寿命的定义，空穴通过热产生过程以每单位体积 $p_v^0/\tau_p$ 的速率产生。如果这样的空穴在距耗尽层边界一个扩散长度 $L_p$ 以内产生，那么它在复合前有相当大的机会进入耗尽层（随后迅速被扫向 $p$ 侧）。因此，每秒流入耗尽层的热产生空穴数，以单位面积计，为 $L_pp_v^0/\tau_p$ 量级。由于 $p_v^0=n_i^2/N_d$，有

$$ J_h^{\mathrm{gen}}=\left(\frac{n_i^2}{N_d}\right)\frac{L_p}{\tau_p}, \tag{29.40} $$

类似地，

$$ J_e^{\mathrm{gen}}=\left(\frac{n_i^2}{N_a}\right)\frac{L_n}{\tau_n}. \tag{29.41} $$

式（29.40）和（29.41）中电流的总和称为饱和电流，因为它是 $V$ 为负（“反向偏置”）时能够流过结的最大电流。由于 $n_i^2$ 的温度依赖关系主要由因子 $e^{-E_g/k_BT}$ 决定（式（28.19）），饱和电流强烈依赖温度。

非平衡 $p$-$n$ 结的更详细理论

利用漂移电流和扩散电流的概念，可以更详细地描述 $V\ne0$ 时 $p$-$n$ 结的行为。平衡态的 $p$-$n$结有两个特征区域：耗尽层，其中电场、空间电荷和载流子密度梯度都很大；以及耗尽层外的均匀区域，其中这些量都很小。在非平衡情况下，电场和空间电荷变小的起始位置，与载流子密度梯度变小的起始位置不同。因此，当 $V\ne0$ 时，$p$-$n$ 结具有的特征区域不是两个，而是三个（表 29.1 作了简明描述）：

1. 耗尽层  与平衡情况一样，这一范围内的电场、空间电荷和载流子密度梯度都很大。当 $V\ne0$ 时，根据式（29.20），耗尽层相对于 $V=0$ 的情况变窄或变宽，取决于 $V$ 为正（正向偏置）还是为负（反向偏置）。
2. 扩散区（Diffusion Regions）  这些区域从耗尽层边界向外延伸的距离为一个扩散长度量级，其中电场和空间电荷很小，但载流子密度梯度仍然显著（不过没有耗尽层中那么大）。
3. 均匀区（Homogeneous Regions）  在扩散区之外，电场、空间电荷和载流子密度梯度都很小，与平衡态的均匀区域一样。

平衡情况下不存在扩散区（2）。当 $V\ne0$ 时，它出现的原因如下：

在平衡态（$V=0$），跨越耗尽层的载流子密度变化，恰好足以把高密度侧的均匀平衡值（$n_c(\infty)=N_d$、$p_v(-\infty)=N_a$）与低密度侧¹⁹的均匀平衡值（$n_c(-\infty)=n_i^2/N_a$、$p_v(+\infty)=n_i^2/N_d$）连接起来。然而，当 $V\ne0$ 时，我们已注意到，耗尽层的宽度及其两端的电势降与平衡值不同。因此（下面将明确看到），跨越这一层的载流子密度变化，不再能够匹配两侧相应均匀平衡值的差异；必须出现另一个区域，载流子密度在其中从耗尽层边界处的值弛豫到更远处均匀区域所对应的值（图 29.6）。

表 29.1 总结了这些性质，还给出了当电流 $j$ 流过结时，电子和空穴的漂移电流与扩散电流在这三个区域中的特征行为²⁰：

1. 在耗尽层中，既有漂移电流，也有扩散电流。在平衡情况下，对每种载流子，这两种电流大小相等、方向相反，因而没有净

   表 29.1  偏置 $p$-$n$ 结中的三个特征区域^a

   均匀区 $p$ 型		扩散区 $\longleftarrow O(L_p)\longrightarrow$	耗尽层 $\longleftarrow d_p\mid d_n\longrightarrow$	扩散区 $\longleftarrow O(L_n)\longrightarrow$	均匀区 $n$ 型
   电场 或 空间电荷	小		大	小
   $\nabla p,\quad\nabla n$	小	大			小
   $p$	大		小
   $n$	小			大
   $j_h^{\mathrm{drift}}$	$\approx j$	$O(j)$	$\gg j$	$\approx0$	$\approx0$
   $j_h^{\mathrm{diffusion}}$	$\approx0$	$O(j)$	$\gg j$	$O(j)$	$\approx0$
   $j_e^{\mathrm{diffusion}}$	$\approx0$	$O(j)$	$\gg j$	$O(j)$	$\approx0$
   $j_e^{\mathrm{drift}}$	$\approx0$	$\approx0$	$\gg j$	$O(j)$	$\approx j$

   ^a 各区域的位置和范围标在表的顶部。每个区域下方的一列给出重要物理量的数量级。

   

   电子电流或空穴电流。在非平衡情况下，流过耗尽层的净电流来自每种载流子的漂移电流与扩散电流之间的微小不平衡；即漂移电流和扩散电流各自都远大于总电流。在建立结内电流的完整图像后，很容易明确验证这一点（习题 4）。这是耗尽层中非常大的电场和密度梯度所造成的（它们的作用足以抵消并超过载流子密度很低的影响）。

2. 在扩散区中，载流子密度更接近均匀区域中的值。多数载流子的密度已增大到这样的程度：即使此时电场很小，其漂移电流仍然显著；少数载流子的漂移电流相比之下则可以完全忽略。由于载流子密度在扩散区中仍然变化，两种扩散电流（与密度梯度而非密度本身成正比）都很显著。通常，扩散区中除了可以忽略的少数载流子漂移电流以外，所有电流都为 $j$ 量级。

3. 在均匀区中，扩散电流可以忽略，全部电流都由多数载流子的漂移电流承载。

有了各类载流子漂移电流和扩散电流的这一图像，就可以方便地计算给定 $V$ 值时流过结的总电流 $j$。为简化分析，再作一个假定：²¹载流子穿过耗尽层的速度很快，层内发生的产生和复合可以忽略。如果如此，那么在稳态，电子和空穴的总电流 $J_e$ 与 $J_h$ 在整个耗尽层内都为常数。因此，在总电流表达式 $j=-eJ_e+eJ_h$ 中，可以分别在耗尽层中最方便的位置计算 $J_e$ 和 $J_h$。计算电子电流最方便的位置是 $p$ 侧耗尽层与扩散区的边界，而计算空穴电流最方便的位置是另一侧边界。²²因此，写成

$$ j=-eJ_e(-d_p)+eJ_h(d_n). \tag{29.42} $$

这一表示方式很有用，因为在耗尽层与扩散区的边界，少数载流子的电流完全是扩散电流（见表 29.1）。因此，只要能够计算扩散区内少数载流子密度对位置的依赖关系，就可以立即用式（29.27）（其中 $E=0$）计算它们的电流：

$$ \begin{aligned}J_e(-d_p)&=-D_n\left.\frac{dn_c}{dx}\right|_{x=-d_p},\\J_h(d_n)&=-D_p\left.\frac{dp_v}{dx}\right|_{x=d_n}.\end{aligned} \tag{29.43} $$

然而，由于扩散区内少数载流子的漂移电流可以忽略，少数载流子密度满足扩散方程（29.36）。若用 $p_v(d_n)$ 表示 $n$ 侧耗尽层边界处的空穴密度，并注意到在 $n$ 侧远离这一边界的地方，$p_v$ 趋于 $p_v(\infty)=n_i^2/N_d$，则扩散方程（29.36）的解（29.38）为

$$ p_v(x)=\frac{n_i^2}{N_d}+\left[p_v(d_n)-\frac{n_i^2}{N_d}\right]e^{-(x-d_n)/L_p},\quad x\geq d_n. \tag{29.44} $$

类似地，$p$ 侧扩散区内的电子密度为

$$ n_c(x)=\frac{n_i^2}{N_a}+\left[n_c(-d_p)-\frac{n_i^2}{N_a}\right]e^{(x+d_p)/L_n},\quad x\leq-d_p. \tag{29.45} $$

把这些密度代入式（29.43），得到耗尽层边界处的少数载流子电流：

$$ \begin{aligned}J_e(-d_p)&=-\frac{D_n}{L_n}\left[n_c(-d_p)-\frac{n_i^2}{N_a}\right],\\J_h(d_n)&=\frac{D_p}{L_p}\left[p_v(d_n)-\frac{n_i^2}{N_d}\right],\end{aligned} \tag{29.46} $$

因此，总电流式（29.42）为

$$ j=\frac{eD_n}{L_n}\left[n_c(-d_p)-\frac{n_i^2}{N_a}\right]+\frac{eD_p}{L_p}\left[p_v(d_n)-\frac{n_i^2}{N_d}\right]. \tag{29.47} $$

现在只需确定耗尽层边界处少数载流子密度偏离其均匀平衡值的大小。在平衡情况下，我们使用载流子密度在电势 $\phi(x)$ 中变化的平衡表达式（29.3），求得了跨越耗尽层的载流子密度变化。前面已指出，这一表达式来自平衡时漂移电流与扩散电流大小相等、方向相反这一事实。在一般的非平衡情况下（例如扩散区中），漂移电流与扩散电流并不平衡，式（29.3）不成立。不过，在耗尽层中，漂移电流与扩散电流接近平衡，²³因此在合理近似下，载流子密度确实遵从式（29.3），跨越耗尽层时按因子 $e^{-e\Delta\phi/k_BT}$ 变化：

$$ \begin{aligned}n_c(-d_p)&=n_c(d_n)e^{-e\Delta\phi/k_BT}=\left[n_c(d_n)e^{-e(\Delta\phi)_0/k_BT}\right]e^{eV/k_BT},\\p_v(d_n)&=p_v(-d_p)e^{-e\Delta\phi/k_BT}=\left[p_v(-d_p)e^{-e(\Delta\phi)_0/k_BT}\right]e^{eV/k_BT}.\end{aligned} \tag{29.48} $$

当 $eV\ll E_g$ 时，$V$ 远小于 $(\Delta\phi)_0$，少数载流子一侧的载流子密度［$n_c(-d_p)$ 和 $p_v(d_n)$］仍然远小于它们在多数载流子一侧的值［$n_c(d_n)$ 和 $p_v(-d_p)$］，与 $V=0$ 时一样。因此，耗尽层边界处空间电荷为零的条件

$$ \begin{aligned}n_c(d_n)-p_v(d_n)&=N_d,\\p_v(-d_p)-n_c(-d_p)&=N_a,\end{aligned} \tag{29.49} $$

给出的多数载流子密度 $n_c(d_n)$ 和 $p_v(-d_p)$，与其平衡值 $N_d$ 和 $N_a$ 仅相差一个非常接近 1 的因子。因此，当 $eV\ll E_g$ 时，在极好的近似下，

$$ \begin{aligned}n_c(-d_p)&=\left[N_de^{-e(\Delta\phi)_0/k_BT}\right]e^{eV/k_BT},\\p_v(d_n)&=\left[N_ae^{-e(\Delta\phi)_0/k_BT}\right]e^{eV/k_BT},\end{aligned} \tag{29.50} $$

或等价地，²⁴

$$ \begin{aligned}n_c(-d_p)&=\frac{n_i^2}{N_a}e^{eV/k_BT},\\p_v(d_n)&=\frac{n_i^2}{N_d}e^{eV/k_BT}.\end{aligned} \tag{29.51} $$

把这些结果代入总电流表达式（29.47），得到

$$ j=en_i^2\left(\frac{D_n}{L_nN_a}+\frac{D_p}{L_pN_d}\right)(e^{eV/k_BT}-1). \tag{29.52} $$

这具有式（29.26）的形式，其中产生电流明确地由下式给出：

$$ \boxed{\begin{aligned}J_e^{\mathrm{gen}}&=\left(\frac{n_i^2}{N_a}\right)\frac{D_n}{L_n},\\J_h^{\mathrm{gen}}&=\left(\frac{n_i^2}{N_d}\right)\frac{D_p}{L_p}.\end{aligned}} \tag{29.53} $$

如果借助式（29.37）消去式（29.53）中的扩散常数，产生电流的表达式就与粗略估算式（29.40）和（29.41）一致。

习题

1. 热平衡时的耗尽层

• (a) 证明：如果保留载流子密度的精确（非简并）形式（29.3），那么泊松方程（正文中用式（29.13）作了近似）变为以下关于变量 $\psi=(e\phi+\mu-\mu_i)/k_BT$ 的微分方程：

  $$ \frac{d^2\psi}{dx^2}=K^2\left(\sinh\psi-\frac{\Delta N(x)}{2n_i}\right), \tag{29.54} $$

  其中 $K^2=8\pi n_i e^2/k_BT\epsilon$，$\Delta N(x)$ 是掺杂分布，$\Delta N(x)=N_d(x)-N_a(x)$；$n_i$ 和 $\mu_i$ 是同一温度下无杂质样品的载流子密度与化学势。

• (b) 正文讨论了由强杂质导电材料制成的 $p$-$n$ 结，其中 $N_d,N_a\gg n_i$。相反，对于轻掺杂、接近本征的半导体，若

  $$ n_i\gg N_d,N_a, \tag{29.55} $$

  则可以对任意掺杂分布高精度地求得静电势，方法如下：

  • (i) 假定 $\psi\ll1$，使 $\sinh\psi\approx\psi$。证明此时式（29.54）的解为：

    $$ \psi(x)=\frac12 K\int_{-\infty}^{\infty}dx'\,e^{-K|x-x'|}\frac{\Delta N(x')}{2n_i}. \tag{29.56} $$

  • (ii) 证明：这一解与式（29.55）意味着 $\psi$ 确实远小于 1，从而说明最初假设是合理的。

  • (iii) 证明：如果 $\Delta N$ 沿多于一个维度变化，那么在接近本征的情况下，

    $$ \phi(\boldsymbol{r})=e\int d\boldsymbol{r}'\,\Delta N(\boldsymbol{r}')\frac{e^{-K|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}. \tag{29.57} $$

  • (iv) 上述结果在形式上与金属中杂质产生的屏蔽托马斯—费米势（screened Thomas-Fermi potential）［式（17.54）］相同。证明：自由电子气的托马斯—费米波矢（Thomas-Fermi wave vector）［式（17.50）］具有与 $K$ 完全相同的形式，只是必须把 $v_F$ 换成适用于玻尔兹曼统计的热速度，并把载流子密度取为 $2n_i$。（为什么最后需要这个因子 2？）量 $K$ 是德拜—休克尔理论（Debye-Hückel theory）的屏蔽波数，相应屏蔽长度为 $K^{-1}$。

• (c) 只需改变变量的名称，就可以对式（29.54）的一般解获得一些认识：

  $$ \psi\to u,\quad x\to t,\quad K^2\to\frac1m. \tag{29.58} $$

  此时，方程描述一个质量为 $m$ 的粒子的位移 $u$；粒子在一个依赖位置（$u$）和时间（$t$）的力的作用下运动。对于突变结，这个力在 $t=0$ 之前和之后都不随时间变化。画出 $t=0$ 之前和之后的“势能”示意图，并由图定性论证：式（29.54）中在 $x\to\pm\infty$ 时渐近趋于常数的解，只能在 $x=0$ 附近有显著变化。

• (d) 证明：上述突变结力学模型在 $t=0$ 之前和之后的“能量”守恒，可以用来证明 $x=0$ 处的精确电势等于近似解（29.14）给出的值加上修正 $\Delta\phi$，其中：

  $$ \Delta\phi=-\frac{kT}{e}\left(\frac{\sqrt{N_d^2+4n_i^2}-\sqrt{N_a^2+4n_i^2}}{N_d+N_a}\right). \tag{29.59} $$

  讨论这一修正对 $\phi$ 有多重要，以及由近似解（29.14）给出的载流子密度式（29.12），在耗尽区内可能有多可靠。

• (e) 与（d）类似，求出并讨论 $x=0$ 处的近似电场和精确电场。

2. 从动力学理论推导爱因斯坦关系

证明：把载流子电流与电场和载流子密度梯度联系起来的唯象方程（phenomenological equations）（29.27），可以由第一章所用的那类初等动力学论证得到，其中迁移率具有形式（29.28）和（29.29），扩散常数具有形式

$$ D=\tfrac13\langle v^2\rangle\tau^{\mathrm{coll}}. \tag{29.60} $$

证明：只要热速度均方值 $\langle v^2\rangle$ 由麦克斯韦—玻尔兹曼统计给出，就满足爱因斯坦关系（29.30）。

3. 简并情况下的爱因斯坦关系

处理简并的非均匀半导体时，必须把平衡载流子密度式（29.3）推广为

$$ \begin{aligned}n_c(x)&=n_c^0(\mu+e\phi(x)),\\p_v(x)&=p_v^0(\mu+e\phi(x)),\end{aligned} \tag{29.61} $$

其中 $n_c^0(\mu)$ 和 $p_v^0(\mu)$ 是均匀半导体的载流子密度，作为化学势的函数。²⁵

• (a) 证明：关于 $\Delta\phi$ 的表达式（29.9）及其前面的解释，仍然直接由式（29.61）得到。

• (b) 略微推广第 602 页的论证，证明

  $$ \mu_n=eD_n\frac1n\frac{\partial n}{\partial\mu},\quad\mu_p=-eD_p\frac1p\frac{\partial p}{\partial\mu}. \tag{29.62} $$

• (c) 对于不处于平衡的非均匀半导体，其载流子密度为 $n_c(x)$ 和 $p_v(x)$，有时要求载流子密度具有平衡形式（29.61），以此定义电子和空穴的准化学势（quasichemical potentials）²⁶ $\tilde\mu_e(x)$ 与 $\tilde\mu_h(x)$：

  $$ n_c(x)=n_c^0(\tilde\mu_e(x)+e\phi(x)),\quad p_v(x)=p_v^0(\tilde\mu_h(x)+e\phi(x)). \tag{29.63} $$

  证明：由爱因斯坦关系（29.62），漂移电流与扩散电流的总和就是

  $$ \begin{aligned}J_e&=-\mu_n n_c\frac{d}{dx}\frac1e\tilde\mu_e(x),\\J_h&=\mu_p p_v\frac{d}{dx}\frac1e\tilde\mu_h(x).\end{aligned} \tag{29.64} $$

  注意，这些表达式具有静电势 $\phi=(-1/e)\tilde\mu$ 中纯漂移电流的形式。

4. 耗尽层中的漂移电流和扩散电流

注意到耗尽层内的电场为 $\Delta\phi/d$ 量级，$d=d_n+d_p$，且其中的载流子密度远高于其少数载流子值（除了层的边缘），证明：耗尽层内的漂移电流（因而也是扩散电流）远大于总电流这一假定，可以得到很好的满足。

5. 扩散区中的电场

按以下方法估算扩散区两端的电势变化，以验证电势 $\phi$ 在扩散区内的变化可以忽略这一假定：

• (a) 利用总电子电流在整个耗尽层内连续这一事实，并明确计算 $d_n$ 处的电子扩散电流，求出 $d_n$ 处的电子漂移电流。
• (b) 注意到 $d_n$ 处的电子密度非常接近 $N_d$，求出 $d_n$ 处产生（a）中计算出的漂移电流所需电场的表达式。
• (c) 假定（b）中求出的电场确定扩散区内电场的尺度，证明跨越扩散区的 $\phi$ 变化量为 $(k_BT/e)(n_i/N_d)^2$ 量级。
• (d) 为什么这一变化确实可以忽略？

6. 饱和电流

估算室温下 $p$-$n$ 结的饱和电流大小，设带隙为 0.5 eV，施主（或受主）浓度为 $10^{18}/\mathrm{cm}^3$，复合时间为 $10^{-5}$ 秒，扩散长度为 $10^{-4}$ cm。