磁有序（Magnetic Ordering）

本文是「固体物理学」系列的第 33 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 33 章的中文译稿。

前两章主要讨论磁矩如何在固体中形成，以及电子间库仑相互作用如何与泡利不相容原理共同产生磁矩之间的有效相互作用。本章从这些相互作用磁矩的存在出发，不再深入探究其起源理论。将概述实验观察到这些磁矩产生的磁结构类型，并考察推导其行为时遇到的一些典型问题；即使出发点不是固体的基本哈密顿量，而是相互作用磁矩的“简单”唯象模型，也会遇到这些问题。

描述磁结构的观测性质时，不限定其背后磁相互作用的具体模型。不过，大多数理论分析将采用海森堡自旋哈密顿量（32.20）。事实上，即使从海森堡模型出发，推导固体磁性质随温度和外加磁场的变化也极其困难。即使对这一简化模型问题，也尚未找到系统解，尽管在多种重要情况下已获得许多局部信息。

将讨论以下具有代表性的课题：

1. 已观测到的磁有序类型。
2. 磁有序系统中极低能态的理论。
3. 高温磁性质的理论。
4. 磁有序消失的临界温度区域。
5. 磁有序的一种非常粗略的唯象理论（平均场理论）。
6. 磁偶极相互作用在铁磁有序固体中的一些重要后果。

磁结构的类型

将使用适用于磁性离子局域于晶格位点的固体的表述，并在下面说明如何将讨论推广到巡游电子磁性（itinerant electron magnetism）。

如果没有磁相互作用，在无磁场时，各个磁矩在任何温度下都会由于热运动而无序，每个磁性离子的矢量磁矩平均为零。¹然而，在某些固体中，各个磁性离子在临界温度 $T_c$ 以下具有非零的平均矢量磁矩。这些固体称为磁有序固体。

磁有序固体中各个局域磁矩相加，可能给出整个固体的净磁化密度，也可能不给出。如果给出，则微观磁有序表现为宏观整体磁化密度的存在（即使没有外加磁场也如此），称为自发磁化（spontaneous magnetization），这种有序态称为铁磁态（ferromagnetic）。

更常见的情况是各个局域磁矩相加得到零总磁矩，没有自发磁化来显示微观有序。这种磁有序态称为反铁磁态（antiferromagnetic）。在最简单的铁磁体中，所有局域磁矩都具有相同的大小和平均方向。当局域磁矩位于两个结构相同且相互穿插的子晶格（sublattices）上时，产生最简单的反铁磁态。²每个子晶格内的磁矩具有相同大小和平均方向，但两个子晶格的净磁矩方向相反，相加得到零总磁矩（见图 33.1）。

当每个原胞含有多个不一定相同的磁性离子，并区分它们可能形成的各种铁磁态时，“铁磁性”一词也用于更严格的含义。在这种语境中，“铁磁性”通常专指所有局域磁矩沿自发磁化方向都具有正分量的磁结构。具有自发磁化却不满足这一判据的固体，称为亚铁磁体（ferrimagnets）。³在简单亚铁磁体中，最近邻交换耦合可能有利于反平行排列，但由于相邻磁性离子不相同，其磁矩不会抵消，整个固体仍有净磁矩。

图 33.2 示意了众多磁有序类型中的一些。许多磁结构十分复杂，与其使用上述三个类别之一，不如明确描述其结构。

对于磁有序金属，即使局域磁性离子的概念可能不适用，也可以作类似区分。用自旋密度（spin density）指定有序：在任意点 $\boldsymbol{r}$ 和任意方向 $\hat{\boldsymbol{z}}$，定义 $s_z(\boldsymbol{r})=\tfrac12[n_\uparrow(\boldsymbol{r})-n_\downarrow(\boldsymbol{r})]$。其中 $n_\uparrow(\boldsymbol{r})$ 和 $n_\downarrow(\boldsymbol{r})$ 是把自旋分解为沿 $z$ 轴的分量时，两种自旋电子对电子密度的贡献。在磁有序金属中，局域自旋密度不为零。在铁磁金属中，对某一方向 $\hat{\boldsymbol{z}}$，$\int d\boldsymbol{r}\,s_z(\boldsymbol{r})$ 也不为零；而在反铁磁金属中，无论如何选择 $\hat{\boldsymbol{z}}$，该积分都为零，尽管 $s_z(\boldsymbol{r})$ 本身并不为零。

金属中观测到的磁结构也可能很复杂。例如，反铁磁性的铬具有非零周期性自旋密度，其周期为在通常条件下与晶格的周期性无关，而是由费米面的几何形状决定。

表 33.1 至表 33.3 列出了一些磁有序固体的例子。

磁结构的观测

具有自发磁化的固体，其磁有序由所产生的宏观磁场清楚地显示出来。⁴然而，反铁磁固体中的磁有序不产生宏观磁场，必须用更精细的方法判定。低能中子是探测局域磁矩的极佳工具，因为中子具有与固体中电子自旋耦合的磁矩。因此，除了中子被离子核产生的非磁性布拉格反射所形成的峰以外，弹性中子散射截面（elastic neutron scattering cross section）中还会出现其他峰（见第 473 页）。磁性反射与非磁性反射可以区分，因为随着温度升高并越过磁有序消失的临界

表 33.1  若干铁磁体及其临界温度 $T_c$ 和饱和磁化强度（saturation magnetization）$M_0$

^a 在 $T=0$（K）时。

来源：F. Keffer，Handbuch der Physik，vol. 18，pt. 2，Springer，New York，1966；P. Heller，Rep. Progr. Phys.，30，（pt. II），731（1967）。

表 33.2  若干反铁磁体及其临界温度 $T_c$

来源：F. Keffer，Handbuch der Physik，vol. 18，pt. 2，Springer，New York，1966。

温度，磁性反射会减弱并消失；也可以根据它们随外加磁场变化的方式加以区分。⁵（见图 33.3。）

核磁共振（nuclear magnetic resonance）⁶提供了另一种探测微观自旋结构的方法。离子核感受到附近电子的偶极磁场。因此，磁有序固体中的核磁共振甚至可以在

表 33.3  若干亚铁磁体及其临界温度 $T_c$ 和饱和磁化强度 $M_0$

^a 在 $T=0$（K）时。

来源：F. Keffer，Handbuch der Physik，vol. 18，pt. 2，Springer，New York，1966。

没有外加磁场时观测到，核处的磁场（因而共振频率）完全来自有序磁矩。因此，例如可以用核磁共振来测量各反铁磁子晶格的净磁化强度，而这种磁化强度无法用宏观手段测得（例如见图 33.4）。

磁有序开始出现时的热力学性质

在临界温度 $T_c$ 以上磁有序消失；这一温度在铁磁体（或亚铁磁体）中称为居里温度（Curie temperature），在反铁磁体中称为奈尔温度（Néel temperature），常写作 $T_N$。从低温侧接近临界温度时，自发磁化强度（或反铁磁体中的子晶格磁化强度）连续下降至零。实验观测到的略低于 $T_c$ 时的磁化强度，可以用幂律很好地描述：

$$ M(T)\sim(T_c-T)^\beta, \tag{33.1} $$

其中 $\beta$ 通常在 0.33 与 0.37 之间（见图 33.4）。

当温度从高温侧降至 $T_c$ 时，也会出现有序开始形成的征兆，其中最显著的是零场磁化率（zero-field susceptibility）。没有磁相互作用时，在所有温度下磁化率都与 $T$ 成反比（居里定律，第 656 页）。然而，在铁磁体中，实验观察到随着 $T$ 降至 $T_c$，磁化率按下述幂律发散：

$$ \chi(T)\sim(T-T_c)^{-\gamma}, \tag{33.2} $$

其中 $\gamma$ 通常在 1.3 与 1.4 之间（见图 33.5）。在反铁磁体中，磁化率在略高于 $T_c$ 的温度处上升至最大值，随后朝 $T_c$ 下降，其斜率在临界点处具有很大的极大值（见图 33.6）。

在磁性临界点处，零场比热也具有特征性的奇异性：

$$ c(T)\sim(T-T_c)^{-\alpha}. \tag{33.3} $$

这种奇异性远不如磁化率的奇异性强，指数 $\alpha$ 为 0.1 的量级或更小。⁷

临界温度区域可能是理论上最难处理的区域。下面将进一步讨论临界区域的理论，但首先转向更容易分析的低温（$T\ll T_c$）和高温（$T\gg T_c$）区域。

零温性质：海森堡铁磁体的基态

考虑位于布拉维晶格位点 $\boldsymbol{R}$ 的一组磁性离子，其低能激发可以用铁磁海森堡哈密顿量（式（32.20））描述：⁸

$$ \begin{gathered}\mathcal H=-\frac12\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}')J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')-g\mu_BH\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}),\\ J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')=J(\boldsymbol{R}'-\boldsymbol{R})\geq0.\end{gathered} \tag{33.4} $$

将这个哈密顿量称为铁磁哈密顿量，是因为正的交换相互作用 $J$ 有利于自旋平行排列。磁矩间磁偶极耦合产生的效应不包含在相互作用 $J$ 中，但可以通过适当定义作用于局域自旋的磁场 $\boldsymbol{H}$ 来计入（取其方向定义 $z$ 轴）。下面（第 722 页）将详细讨论这一点，不过目前只指出：$\boldsymbol{H}$ 是作用于各磁性离子的局域场（采用第二十七章中的含义），不一定等于外加磁场。

如果将哈密顿量（33.4）中的自旋视为经典矢量，那么预期最低能量态应当是所有自旋都沿 $z$ 轴排列、与磁场平行且彼此平行的状态。因此，量子力学基态 $|0\rangle$ 的一个候选态是：对于每个 $\boldsymbol{R}$，它都是 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})$ 具有最大本征值 $S$ 的本征态：

$$ |0\rangle=\prod_{\boldsymbol{R}}|S\rangle_{\boldsymbol{R}}, \tag{33.5} $$

其中

$$ \boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})|S\rangle_{\boldsymbol{R}}=S|S\rangle_{\boldsymbol{R}}. \tag{33.6} $$

为验证 $|0\rangle$ 确实是 $\mathcal H$ 的本征态，用下列算符改写哈密顿量（33.4）：

$$ \boldsymbol{\mathsf{S}}_\pm(\boldsymbol{R})=\boldsymbol{\mathsf{S}}_x(\boldsymbol{R})\pm i\boldsymbol{\mathsf{S}}_y(\boldsymbol{R}), \tag{33.7} $$

这些算符具有性质⁹

$$ \boldsymbol{\mathsf{S}}_\pm(\boldsymbol{R})|S_z\rangle_{\boldsymbol{R}}=\sqrt{(S\mp S_z)(S+1\pm S_z)}\,|S_z\pm1\rangle_{\boldsymbol{R}}. \tag{33.8} $$

将含 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_z$ 的项与含 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_+$ 或 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_-$ 的项分开，可写为

$$ \begin{aligned}\mathcal H={}&-\frac12\sum_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}')-g\mu_BH\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\\&-\frac12\sum_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\boldsymbol{\mathsf{S}}_-(\boldsymbol{R}')\boldsymbol{\mathsf{S}}_+(\boldsymbol{R}).\end{aligned} \tag{33.9} $$

由于当 $S_z=S$ 时，$\boldsymbol{\mathsf{S}}_+(\boldsymbol{R})|S_z\rangle_{\boldsymbol{R}}=0$，所以 $\mathcal H$ 作用于 $|0\rangle$ 时，只有含 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_z$ 的项对结果有贡献。而 $|0\rangle$ 按构造是每个 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})$ 的本征态，本征值为 $S$，因此

$$ \mathcal H|0\rangle=E_0|0\rangle, \tag{33.10} $$

其中

$$ E_0=-\frac12S^2\sum_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')-Ng\mu_BHS. \tag{33.11} $$

因此，$|0\rangle$ 确实是 $\mathcal H$ 的本征态。为证明 $E_0$ 是基态能量，考虑 $\mathcal H$ 的任意其他本征态 $|0'\rangle$，其本征值为 $E_0'$。由于

$$ E_0'=\langle0'|\mathcal H|0'\rangle, \tag{33.12} $$

当所有 $J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')$ 都为正时，$E_0'$ 具有下界

$$ -\frac12\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}'}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\max\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}')\rangle-g\mu_BH\sum_{\boldsymbol{R}}\max\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\rangle \tag{33.13} $$

其中 $\max\langle X\rangle$ 是算符 $X$ 所能取的最大对角矩阵元（在任意状态中）。习题 1 将证明¹⁰

$$ \begin{gathered}\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}')\rangle\leq S^2,\qquad\boldsymbol{R}\ne\boldsymbol{R}',\\ \langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\rangle\leq S.\end{gathered} \tag{33.14} $$

将这些不等式与 $E_0'$ 的下界（33.13）结合，并将所得不等式与 $E_0$ 的表达式（33.11）比较，可得 $E_0'$ 不可能小于 $E_0$，因此 $E_0$ 必定是基态能量。

零温性质：海森堡反铁磁体的基态

寻找海森堡反铁磁体的基态仍是未解决的问题，只有仅最近邻之间耦合的一维自旋 1/2 离子链这一特殊情况例外。¹¹自旋位于两个子晶格、且每个自旋只与另一子晶格上的自旋相互作用的情况，可以说明其中的困难。没有外加磁场时，哈密顿量为

$$ \mathcal H=\frac12\sum_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}|J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')|\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}'). \tag{33.15} $$

对基态的一种显然猜想是：使每个子晶格处于形式（33.5）的铁磁基态，而两个子晶格的磁化方向相反。如果自旋是经典矢量，这将最大程度地利用子晶格间的反铁磁耦合，并给出基态能量

$$ E_0=-\frac12\sum_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}|J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')|S^2. \tag{33.16} $$

然而，与铁磁情况不同，哈密顿量（33.9）中的 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_-(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_+(\boldsymbol{R}')$ 项作用于这种状态时，并不总是给出零；它还会产生一种状态，其中“向上”子晶格中一个自旋的 $z$ 分量降低一个单位，而“向下”子晶格中一个自旋的该分量相应升高。因此，这种状态不是本征态。

容易确立的只是式（33.16）给出了真实基态能量的上界（习题 2）。也可以找到下界（习题 2），从而得到不等式：

$$ -\frac12S(S+1)\sum_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}|J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')|\leq E_0\leq-\frac12S^2\sum_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}|J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')|. \tag{33.17} $$

在大自旋极限下（此时自旋实际上成为经典矢量），上下界之比趋于一。然而，$S$ 较小时，这些界限远不够严格。例如，在一维最近邻自旋 1/2 链中，这些界限给出 $-0.25NJ\geq E_0\geq-0.75NJ$，而贝特的精确结果为 $E_0=-NJ[\ln2-(1/4)]=-0.443NJ$。因此，要准确估计反铁磁基态能量，需要更细致的分析。

海森堡铁磁体的低温行为：自旋波

不仅可以给出海森堡铁磁体的精确基态，还可以找到其一些低能激发态。对这些状态的了解，是海森堡铁磁体低温性质理论的基础。在零温下，铁磁体处于其基态（33.5），每个离子的平均“自旋”为 $S$，磁化密度（称为饱和磁化强度）为

$$ M=g\mu_B\frac NV S. \tag{33.18} $$

当 $T\ne0$ 时，必须用玻尔兹曼因子 $e^{-E/k_BT}$ 对所有状态的平均磁化强度加权。非常接近 $T=0$ 时，只有低能态具有显著权重。为构造其中一些低能态，考察一个状态¹² $|\boldsymbol{R}\rangle$，它与基态 $|0\rangle$ 的唯一差别是：位点 $\boldsymbol{R}$ 处自旋的 $z$ 分量从 $S$ 降为 $S-1$：

$$ |\boldsymbol{R}\rangle=\frac1{\sqrt{2S}}\boldsymbol{\mathsf{S}}_-(\boldsymbol{R})|0\rangle. \tag{33.19} $$

状态 $|\boldsymbol{R}\rangle$ 仍是哈密顿量（33.9）中含 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_z$ 的各项的本征态。然而，由于 $\boldsymbol{R}$ 处自旋的 $z$ 分量未取最大值，$\boldsymbol{\mathsf{S}}_+(\boldsymbol{R})|\boldsymbol{R}\rangle$ 不为零，而 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_-(\boldsymbol{R}')\boldsymbol{\mathsf{S}}_+(\boldsymbol{R})$ 只是将自旋降低的位点从 $\boldsymbol{R}$ 移至 $\boldsymbol{R}'$。因此¹³

$$ \boldsymbol{\mathsf{S}}_-(\boldsymbol{R}')\boldsymbol{\mathsf{S}}_+(\boldsymbol{R})|\boldsymbol{R}\rangle=2S|\boldsymbol{R}'\rangle. \tag{33.20} $$

校对注：式（33.20）对 $\boldsymbol{R}\prime=\boldsymbol{R}$ 也成立：$S_-S_+|S,S-1\rangle=2S|S,S-1\rangle$。因此无需额外添加位点不等条件。

再注意到

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}')|\boldsymbol{R}\rangle&=S|\boldsymbol{R}\rangle,&&\boldsymbol{R}'\ne\boldsymbol{R},\\ &=(S-1)|\boldsymbol{R}\rangle,&&\boldsymbol{R}'=\boldsymbol{R},\end{aligned} \tag{33.21} $$

便可得

$$ \mathcal H|\boldsymbol{R}\rangle=E_0|\boldsymbol{R}\rangle+g\mu_BH|\boldsymbol{R}\rangle+S\sum_{\boldsymbol{R}'}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')[|\boldsymbol{R}\rangle-|\boldsymbol{R}'\rangle], \tag{33.22} $$

其中 $E_0$ 是基态能量（33.11）。

因此，虽然 $|\boldsymbol{R}\rangle$ 不是 $\mathcal H$ 的本征态，但 $\mathcal H|\boldsymbol{R}\rangle$ 是 $|\boldsymbol{R}\rangle$ 与其他仅有一个自旋降低的状态的线性组合。由于 $J$ 对 $\boldsymbol{R}$ 和 $\boldsymbol{R}'$ 的依赖只通过具有平移不变性的组合 $\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'$ 出现，容易找到这些状态中构成本征态的线性组合。¹⁴令

$$ |\boldsymbol{k}\rangle=\frac1{\sqrt N}\sum_{\boldsymbol{R}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}|\boldsymbol{R}\rangle. \tag{33.23} $$

式（33.22）意味着

$$ \begin{gathered}\mathcal H|\boldsymbol{k}\rangle=E_{\boldsymbol{k}}|\boldsymbol{k}\rangle,\\ E_{\boldsymbol{k}}=E_0+g\mu_BH+S\sum_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R})(1-e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}).\end{gathered} \tag{33.24} $$

利用对称性 $J(-\boldsymbol{R})=J(\boldsymbol{R})$，可将状态 $|\boldsymbol{k}\rangle$ 的激发能 $\mathcal E(\boldsymbol{k})$（即其能量高于基态能量的部分）写为

$$ \mathcal E(\boldsymbol{k})=E_{\boldsymbol{k}}-E_0=2S\sum_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R})\sin^2(\tfrac12\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R})+g\mu_BH. \tag{33.25} $$

为给出状态 $|\boldsymbol{k}\rangle$ 的物理解释，注意以下几点：

1. $|\boldsymbol{k}\rangle$ 是一组状态的叠加，每个状态的总自旋都比其饱和值 $NS$ 少一个单位，因此状态 $|\boldsymbol{k}\rangle$ 本身的总自旋值为 $NS-1$。
2. 在状态 $|\boldsymbol{k}\rangle$ 中，于特定位点 $\boldsymbol{R}$ 找到降低的自旋的概率为 $|\langle\boldsymbol{k}|\boldsymbol{R}\rangle|^2=1/N$；即降低的自旋以相同概率分布在所有磁性离子上。
3. 将状态 $|\boldsymbol{k}\rangle$ 中的横向自旋关联函数（transverse spin correlation function）定义为下式的期望值：

$$ \boldsymbol{\mathsf{S}}_\perp(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}_\perp(\boldsymbol{R}')=\boldsymbol{\mathsf{S}}_x(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_x(\boldsymbol{R}')+\boldsymbol{\mathsf{S}}_y(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_y(\boldsymbol{R}'). \tag{33.26} $$

直接计算（习题 4）给出

$$ \langle\boldsymbol{k}|\boldsymbol{\mathsf{S}}_\perp(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}_\perp(\boldsymbol{R}')|\boldsymbol{k}\rangle=\frac{2S}N\cos[\boldsymbol{k}\cdot(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')],\qquad\boldsymbol{R}\ne\boldsymbol{R}'. \tag{33.27} $$

因此，平均而言，每个自旋都具有一个垂直于磁化方向的小横向分量，大小为 $(2S/N)^{1/2}$；相隔 $\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'$ 的两个自旋，其横向分量的取向相差角度 $\boldsymbol{k}\cdot(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')$。

这些事实所暗示的状态 $|\boldsymbol{k}\rangle$ 中的微观磁化如图 33.7 所示。状态 $|\boldsymbol{k}\rangle$ 被描述为含有一个波矢为 $\boldsymbol{k}$、能量为 $\mathcal E(\boldsymbol{k})$（式（33.25））的自旋波（spin wave，或“磁振子”，magnon）的状态。

这些单自旋波态是海森堡哈密顿量的精确本征态。计算低温性质时，常假设通过叠加波矢为 $\boldsymbol{k}_1,\ldots,\boldsymbol{k}_{N_0}$ 的 $N_0$ 个自旋波，可以构造更多激发能为 $\mathcal E(\boldsymbol{k}_1)+\mathcal E(\boldsymbol{k}_2)+\cdots+\mathcal E(\boldsymbol{k}_{N_0})$ 的多自旋波本征态。根据与谐性晶体中声子的类比（其中多声子态与单声子态一样，都是精确定态），这一假设似乎合理。然而，对于自旋波，这只是一种近似。自旋波并不严格遵循叠加原理。尽管如此，已经证明这一近似正确再现了低温自发磁化强度的主导项。因此，继续使用该近似计算 $M(T)$，但须注意：如果希望超越对 $T=0$ 结果的首项修正，就必须采用复杂得多的分析。

如果铁磁体的低能激发态具有下列形式的激发能

$$ \sum_{\boldsymbol{k}}\mathcal E(\boldsymbol{k})n_{\boldsymbol{k}},\qquad n_{\boldsymbol{k}}=0,1,2,\ldots, \tag{33.28} $$

那么在温度 $T$ 下，波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的自旋波的平均数为¹⁵

$$ n(\boldsymbol{k})=\langle n_{\boldsymbol{k}}\rangle=\frac1{(e^{\mathcal E(\boldsymbol{k})/k_BT}-1)}. \tag{33.29} $$

每个自旋波使总自旋比饱和值 $NS$ 减少一个单位，因此温度 $T$ 下的磁化强度满足

$$ M(T)=M(0)\left[1-\frac1{NS}\sum_{\boldsymbol{k}}n(\boldsymbol{k})\right], \tag{33.30} $$

或

$$ M(T)=M(0)\left[1-\frac V{NS}\int\frac{d\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\frac1{(e^{\mathcal E(\boldsymbol{k})/k_BT}-1)}\right]. \tag{33.31} $$

在磁场趋于零的极限下，使用 $\mathcal E(\boldsymbol{k})$ 的形式（33.25），可由式（33.31）计算自发磁化强度：

$$ \mathcal E(\boldsymbol{k})=2S\sum_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R})\sin^2(\tfrac12\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}). \tag{33.32} $$

在极低温下，可以采用第二十三章推导低温晶格比热的同样方法计算式（33.31）。当 $T\to0$ 时，只有激发能趋于零的自旋波会对积分作出显著贡献。由于已取所有交换常数 $J(\boldsymbol{R})$ 为正，自旋波能量只有在 $k\to0$ 的极限下才趋于零，此时成为

$$ \mathcal E(\boldsymbol{k})\approx\frac S2\sum_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R})(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R})^2. \tag{33.33} $$

可以对所有 $\boldsymbol{k}$ 将此形式代入式（33.31），因为当近似（33.33）不再有效时，精确的和近似的 $\mathcal E(\boldsymbol{k})$ 都很大，以致在 $T\to0$ 时它们对积分的贡献小到可以忽略。出于同样原因，在低温下可以将积分范围从第一布里渊区扩展到整个 $k$ 空间，误差可以忽略。最后，作变量替换 $\boldsymbol{k}=(k_BT)^{1/2}\boldsymbol{q}$，得到结果：

$$ M(T)=M(0)\left[1-\frac V{NS}(k_BT)^{3/2}\int\frac{d\boldsymbol{q}}{(2\pi)^3}\left\{\exp\left[S\sum_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R})\frac{(\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{R})^2}2\right]-1\right\}^{-1}\right]. \tag{33.34} $$

这表明，随着温度从 $T=0$ 升高，自发磁化强度相对于饱和值的偏离应与 $T^{3/2}$ 成正比，这一结果称为布洛赫 $T^{3/2}$ 定律（Bloch $T^{3/2}$ law）。$T^{3/2}$ 定律已得到实验的充分证实¹⁶（图 33.8）。还已证明¹⁷，结果（33.34）是自发磁化强度相对于饱和值的偏离在低温展开中的精确首项。

式（33.34）的另一项推论也已得到严格验证。在一维和二维空间中，式（33.34）的积分在小 $q$ 处发散。通常将其解释为：在任何非零温度下，都有如此多的自旋波被激发，以致磁化完全消失。这一结论，即一维和二维各向同性海森堡模型不能具有自发磁化，已在不采用自旋波近似的情况下直接得到证明。¹⁸

自旋波并非各向同性海森堡铁磁体所特有。反铁磁体的低能激发也有自旋波理论，但相当复杂；甚至反铁磁基态尚属未知这一事实，便可使人预想到这一点。该理论预言，自旋波激发能在长波长下与 $k$ 呈线性关系，与铁磁情况不同。¹⁹

对于磁性的巡游模型，也已建立自旋波理论。一般而言，只要局域有序具有某个方向，该方向能以连续方式随空间变化，而且当这种变化的波长变得很长时，所需能量代价变得很小，就预期存在自旋波。

上面已指出，弹性磁性中子散射可以揭示磁结构，正如弹性非磁性中子散射可以揭示离子的空间排列。这一类比也适用于非弹性散射：非弹性磁性中子散射揭示自旋波谱，正如非弹性非磁性中子散射揭示声子谱。因此，在非弹性散射截面的磁性部分中存在“单自旋波”峰，其中中子能量和波矢的变化由一个自旋波的激发能和波矢给出。这些峰的观测证实了铁磁体中自旋波激发能对 $k^2$ 的依赖性（也证实了反铁磁体中对 $k$ 的线性依赖性）。（见图 33.9。）

高温磁化率

除人为简化的模型外，在存在磁相互作用时，还没有人成功地以闭合形式计算出海森堡模型的零场磁化率 $\chi(T)$。不过，已能够计算磁化率按温度的倒数幂展开的许多项。首项与 $T$ 成反比，与交换常数无关，它本身给出无相互作用磁矩所具有的居里定律磁化率（第 656 页）。后续各项给出对居里定律的修正。

高温展开从下列精确恒等式开始：²⁰

$$ \begin{aligned}\chi(T)&=\left.\frac{g\mu_B}V\frac\partial{\partial H}\left\langle\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\right\rangle\right|_{H=0}\\&=\frac1V\frac1{k_BT}(g\mu_B)^2\left\langle\left[\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\right]^2\right\rangle_{H=0}.\end{aligned} \tag{33.35} $$

这里的尖括号表示没有外加磁场时的平衡平均值：

$$ \langle X\rangle_{H=0}=\frac{\sum_\alpha\langle\alpha|X|\alpha\rangle e^{-\beta E_\alpha}}{\sum_\alpha e^{-\beta E_\alpha}}=\frac{\operatorname{Tr}Xe^{-\beta\mathcal H_0}}{\operatorname{Tr}e^{-\beta\mathcal H_0}}, \tag{33.36} $$

其中

$$ \mathcal H_0=-\frac12\sum_{\boldsymbol{R}\ne\boldsymbol{R}\prime}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}\prime). \tag{33.37} $$

将自旋 $z$ 分量的均方值表示为下列形式较为方便：

$$ \left\langle\left[\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\right]^2\right\rangle=\sum_{\boldsymbol{R}\prime\boldsymbol{R}}\Gamma(\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}\prime), \tag{33.38} $$

其中 $\Gamma$ 是自旋关联函数：

$$ \Gamma(\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}\prime)=\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}\prime)\rangle_{H=0}. \tag{33.39} $$

通过计算 $T\to\infty$（即 $e^{-\mathcal H_0/k_BT}\to1$）极限下的 $\Gamma$，可求得高温磁化率的首项。在无限温度极限下，相互作用不再起作用（形式上，$e^{-J/k_BT}\to1$ 同时对应高温极限和零相互作用极限），因此不同位点的自旋完全不相关。于是²¹

$$ \langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}\prime)\rangle_0=\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\rangle_0\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}\prime)\rangle_0=0,\qquad\boldsymbol{R}\ne\boldsymbol{R}\prime, \tag{33.40} $$

但

$$ \langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\rangle_0=\tfrac13\langle(\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}))^2\rangle_0=\tfrac13S(S+1). \tag{33.41} $$

将二者结合，得到

$$ \langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}\prime)\rangle_0=\tfrac13S(S+1)\,\delta_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}\prime}. \tag{33.42} $$

对 $T\to\infty$ 时 $\Gamma$ 行为的首项修正，可通过保留统计权重（statistical weight）展开中的第一项得到：

$$ e^{-\beta\mathcal H_0}=1-\beta\mathcal H_0+O(\beta\mathcal H_0)^2. \tag{33.43} $$

将其代入式（33.39），得到

$$ \Gamma(\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}\prime)\approx\frac{\tfrac13S(S+1)\,\delta_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}\prime}-\beta\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}\prime)\mathcal H_0\rangle_0}{1-\beta\langle\mathcal H_0\rangle_0}. \tag{33.44} $$

在无限 $T$ 下（即没有相互作用时），有

$$ \begin{gathered}\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}\prime)\rangle_0=0,\qquad\boldsymbol{R}\ne\boldsymbol{R}\prime,\\\langle\mathcal H_0\rangle_0=0,\end{gathered} \tag{33.45} $$

所以式（33.44）的分母仍为一。但分子中首项的修正为

$$ \beta\frac12\sum_{\boldsymbol{R}_1,\boldsymbol{R}_2}J(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_2)\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}\prime)\,\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}_1)\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}_2)\rangle_0. \tag{33.46} $$

由于在 $T\to\infty$ 的极限下不同位点的自旋相互独立，式（33.46）只有在 $\boldsymbol{R}_1=\boldsymbol{R}$、$\boldsymbol{R}_2=\boldsymbol{R}\prime$ 或反过来时才不为零。因此，它化为

$$ \beta J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)\sum_{\mu=x,y,z}\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_\mu(\boldsymbol{R})\rangle_0\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}\prime)\boldsymbol{\mathsf{S}}_\mu(\boldsymbol{R}\prime)\rangle_0. \tag{33.47} $$

由于给定自旋的不同分量不相关，这进一步简化为

$$ \beta J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z^2(\boldsymbol{R})\rangle_0\langle\boldsymbol{\mathsf{S}}_z^2(\boldsymbol{R}\prime)\rangle_0=\beta J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)\left(\frac{S(S+1)}3\right)^2. \tag{33.48} $$

综合这些结果，高温展开（33.44）给出

$$ \Gamma(\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}\prime)=\frac{S(S+1)}3\left[\delta_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}\prime}+\frac{S(S+1)}3\beta J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)+O(\beta J)^2\right]. \tag{33.49} $$

因此，在高温下，两个不同自旋的关联函数只是与交换相互作用本身成正比。这是合理的，因为预期两个自旋间正的（即铁磁性的）交换耦合有利于它们平行排列（从而使内积为正），而负的（即反铁磁性的）耦合应有利于反平行排列。然而，这一结果忽略了如下可能性：两个不同自旋通过共同耦合于其他自旋而产生的关联，可能比其直接耦合产生的关联更强。当将高温展开推进至 $J/k_BT$ 的更高阶时，确实会出现可以这样解释的项。

将关联函数（33.49）代入磁化率（33.35），并利用式（33.38），得到高温磁化率：

$$ \chi(T)=\frac NV\frac{(g\mu_B)^2}{3k_BT}S(S+1)\left[1+\frac\theta T+O\left(\frac\theta T\right)^2\right], \tag{33.50} $$

其中

$$ \theta=\frac{S(S+1)}3\frac{J_0}{k_B},\qquad J_0=\sum_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R}). \tag{33.51} $$

磁化率（33.50）的形式是居里定律（式（31.47））乘以修正因子 $(1+\theta/T)$，该因子大于还是小于一，取决于耦合主要是铁磁性的还是反铁磁性的。²²因此，即使温度远高于临界温度，也可以从磁化率的温度依赖性中获得关于 $T_c$ 以下出现的有序性质的线索。²³

临界点的分析

在磁有序消失的临界温度 $T_c$ 附近，建立磁有序的定量理论最为困难。这一困难并非磁性问题所特有。例如，液–汽相变、超导相变（第三十四章）、液态 $\mathrm{He}_4$ 的超流相变及合金的有序–无序相变的临界点，彼此具有很强的类比，并产生十分相似的理论困难。

一种计算方法²⁴是尽可能多地计算例如磁化率的高温展开项，然后沿 $T$ 向低温外推至奇点，从而同时得到临界温度和指数 $\gamma$（式（33.2））。已经发展出高度精细的外推技术²⁵，由此得到的 $\gamma$ 值与观测到的发散相当吻合。遗憾的是，类似方法不容易用于海森堡模型的自发磁化强度。如果已知 $M(T)$ 在 $T=0$ 附近的级数展开，就可以向高温外推至奇点，既检验通过磁化率向低温外推得到的 $T_c$，又得到临界指数 $\beta$（式（33.1））。然而，遗憾的是，$M(T)$ 的低温展开要求计算对自旋波近似的修正。虽然可以在有限程度上进行这种计算，但远不能达到计算高温展开时所用系统程序的水平。

另一种方法是进一步简化哈密顿量。代价是所得模型与原物理问题只有一般性的相似，只有偶尔在一些特殊情况下，原问题碰巧（通常是事后，ex post facto）与新模型相似。收获是所得模型在解析处理上容易得多。这些模型的详细理论分析既有助于认识更现实的海森堡模型，也为各种近似技术提供了初步检验的平台。

海森堡模型最重要的简化无疑是伊辛模型（Ising model）；只需从海森堡哈密顿量（33.9）中删去含 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_+$ 和 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_-$ 的项，便得到

$$ \mathcal H^{\mathrm{Ising}}=-\frac12\sum_{\boldsymbol{R},\boldsymbol{R}'}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}')-g\mu_BH\sum_{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}). \tag{33.52} $$

由于所有 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})$ 都相互对易，在每个 $\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})$ 都为对角的表象中，$\mathcal H^{\mathrm{Ising}}$ 显然为对角；即哈密顿量的所有本征函数和本征值都已知。尽管如此，计算配分函数仍是一项极其困难的任务。不过，高温展开更容易计算，而且能比海森堡模型展开更多项；低温展开中的深刻困难也消失了（遗憾的是，布洛赫 $T^{3/2}$ 定律也随之消失）。

然而，在临界点附近，除了仅有最近邻相互作用的二维伊辛模型外，仍然几乎只能外推高温（和低温）展开。²⁶对于这一特殊情况，若干简单晶格（如正方、三角和蜂窝晶格）在零磁场下的精确自由能和自发磁化强度都已知。²⁷值得冷静认识的是：尽管为构造一个哪怕如此易于处理的模型，也已作出大量过度简化，这些结果的计算仍属于理论物理学家取得的最令人印象深刻的非凡成就（tours de force）之一。

根据昂萨格的精确解，在零磁场下，无论从高温侧还是低温侧接近临界温度 $T_c$，二维伊辛模型的比热都具有对数奇异性。自发磁化强度按 $(T_c-T)^{1/8}$ 趋于零，而磁化率按 $(T-T_c)^{-7/4}$ 发散。注意，这些指数与第 699 页所述观测值相差很大，比热奇异性或许例外（很弱的幂律发散难以与对数奇异性区分）。这是模型二维结构造成的。三维级数展开给出的奇异性与观测结果接近得多。

最后指出，研究临界区域还有另一种方法，它基于如下假设²⁸：在 $T=T_c$ 和 $H=0$ 附近，磁状态方程应具有形式

$$ \frac H{|T_c-T|^{\beta+\gamma}}=f_\pm\left(\frac M{|T_c-T|^\beta}\right),\qquad T\gtreqless T_c, \tag{33.53} $$

这称为标度状态方程（scaling equation of state）。给定这种形式，可以推导描述临界点奇异性的各指数之间的某些关系，例如（见式（33.1）、（33.2）和（33.3））$\alpha+2\beta+\gamma=2$，这种关系只能以不等式形式得到证明²⁹，但在真实系统中似乎以严格等式形式成立。标度概念已用于静态关联函数³⁰，甚至用于含时关联函数。³¹它为许多临界点实验指明了方向，而这些实验又证实了最初的猜想（例如见图 33.10）。不过，直到 K. G. Wilson 最近的理论工作，标度假设才获得坚实基础。³²

平均场理论

最早对铁磁相变作定量分析的尝试由 P. Weiss 提出，称为平均场（或分子场）理论（mean (or molecular) field theory）。³³平均场理论对临界区域的描述严重不足，在低温下不能预言自旋波，即使在高温下，也只能无误地再现对居里定律的首项修正。不过，这里仍介绍它，原因是：（a）该理论被如此广泛地使用和引用，以致必须学会辨认它并了解其不足；（b）遇到新情况时（如具有几种耦合类型的晶体结构上某种复杂自旋排列），平均场理论可能提供最简单的粗略方法，以判断预期可能出现哪些结构；（c）平均场理论有时作为更精细计算的出发点。

设在海森堡哈密顿量（33.4）中，关注某一特定位点 $\boldsymbol{R}$，并从 $\mathcal H$ 中分离出含有 $\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})$ 的项：

$$ \Delta\mathcal H=-\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\left(\sum_{\boldsymbol{R}\ne\boldsymbol{R}'}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}')+g\mu_B\boldsymbol{H}\right). \tag{33.54} $$

它具有一个自旋在有效外场中能量的形式：

$$ \boldsymbol{H}_{\mathrm{eff}}=\boldsymbol{H}+\frac1{g\mu_B}\sum_{\boldsymbol{R}'}J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}')\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}'), \tag{33.55} $$

但“场” $\boldsymbol{H}_{\mathrm{eff}}$ 是一个算符，以复杂方式依赖于 $\boldsymbol{R}$ 以外所有位点上其他自旋的详细排列。平均场近似用 $\boldsymbol{H}_{\mathrm{eff}}$ 的热平衡平均值代替它，从而避开这一复杂性。在铁磁体中³⁴，每个自旋具有相同平均值，可用总磁化密度表示为

$$ \langle\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\rangle=\frac VN\frac{\boldsymbol{M}}{g\mu_B}. \tag{33.56} $$

若将式（33.55）中各自旋替换为其平均值（33.56），便得到有效场

$$ \boldsymbol{H}_{\mathrm{eff}}=\boldsymbol{H}+\lambda\boldsymbol{M}, \tag{33.57} $$

其中

$$ \lambda=\frac VN\frac{J_0}{(g\mu_B)^2},\qquad J_0=\sum_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R}). \tag{33.58} $$

铁磁体的平均场理论假定，相互作用的唯一效应是将每个自旋感受到的磁场替换为 $\boldsymbol{H}_{\mathrm{eff}}$。在实际关注的问题中，这一假定很少有充分依据，因为它要求各自旋方向不能大幅偏离其平均值，或者交换相互作用的作用范围足够长，使许多自旋对式（33.55）作出贡献，并使各自旋相对于平均值的涨落彼此抵消。

如果仍采用平均场近似，那么磁化密度由下式的解给出：

$$ M=M_0\left(\frac{H_{\mathrm{eff}}}T\right), \tag{33.59} $$

其中 $M_0$ 是在没有磁相互作用时计算出的温度 $T$、磁场 $H$ 下的磁化密度。第三十一章已计算 $M_0$，并发现（式 31.44）它只通过 $H$ 与 $T$ 的比值依赖于二者，式（33.59）已明确体现这一点。如果温度 $T$ 下存在自发磁化强度 $M(T)$，那么它由外加磁场消失时式（33.59）的非零解给出。由于当 $H=0$ 时 $H_{\mathrm{eff}}=\lambda M$，必有

$$ M(T)=M_0\left(\frac{\lambda M}T\right). \tag{33.60} $$

用图解法最容易研究式（33.60）是否存在解。若将它写为两个方程

$$ \begin{gathered}M(T)=M_0(x),\\ M(T)=\frac T\lambda x,\end{gathered} \tag{33.61} $$

那么每当 $M_0(x)$ 的曲线与直线 $(T/\lambda)x$ 相交，就有解（见图 33.11）。在非零 $x$ 处出现交点的充要条件是直线的斜率 $T/\lambda$ 小于 $M_0(x)$ 在原点的斜率 $M_0'(0)$。后一斜率可用无相互作用时计算出的零场磁化率 $\chi_0$ 表示，因为

$$ \chi_0=\left(\frac{\partial M_0}{\partial H}\right)_{H=0}=\frac{M_0'(0)}T. \tag{33.62} $$

将其与居里定律的明确形式（31.47）比较，可读出 $M_0'(0)$ 的值，并得出如下结论：在临界温度 $T_c$ 以下可以出现非零自发磁化，该温度为

$$ T_c=\frac NV\frac{(g\mu_B)^2}{3k_B}S(S+1)\lambda=\frac{S(S+1)}{3k_B}J_0. \tag{33.63} $$

表 33.4 将这一预言与若干二维和三维伊辛模型的精确临界温度比较。³⁵实际临界温度可低至平均场预言值的一半。不过，正如预期，随着晶格维数和配位数增大，两者的一致性确实改善。

表 33.4  若干最近邻伊辛模型的精确临界温度与平均场理论（MFT）预言值之比^a

^a 二维的 $T_c$ 值已知其闭合形式；三维值通过外推技术计算，达到所列精度。

来源：M. E. Fisher，Repts. Prog. Phys. 30（pt. II），615（1967）。

在略低于 $T_c$ 时，式（33.60）给出的自发磁化强度按 $(T_c-T)^{1/2}$ 变化，与晶格维数无关（见习题 6）。这与已知结果 $M\sim(T_c-T)^\beta$ 形成鲜明差别：二维伊辛模型有 $\beta=\tfrac18$，大多数三维实际系统和模型系统有 $\beta\simeq\tfrac13$。不过须注意，随着维数增大，与平均场理论的一致性也再次改善。³⁶

在接近零温时，平均场理论预言自发磁化强度相对于饱和值的偏离为 $e^{-J_0S/k_BT}$ 的量级（习题 9）。这与对各向同性³⁷海森堡模型作更精确分析所预言、且已获实验证实的 $T^{3/2}$ 依赖性形成鲜明差别。

对式（33.59）求导，得到平均场近似下的磁化率：

$$ \chi=\frac{\partial M}{\partial H}=\frac{\partial M_0}{\partial H_{\mathrm{eff}}}\frac{\partial H_{\mathrm{eff}}}{\partial H}=\chi_0(1+\lambda\chi). \tag{33.64} $$

因此

$$ \chi=\frac{\chi_0}{1-\lambda\chi_0}, \tag{33.65} $$

其中 $\chi_0$ 在磁场 $H_{\mathrm{eff}}$ 下计算。在 $T_c$ 以上、外加磁场趋于零的极限下，$H_{\mathrm{eff}}$ 消失，磁化率 $\chi_0$ 具有居里定律的形式（31.47）。式（33.65）于是给出零场磁化率

$$ \chi=\frac{\chi_0}{1-(T_c/T)}. \tag{33.66} $$

这一结果在形式上与理想顺磁体的居里定律（式（31.47））相同，只是分母中的 $T$ 被替换为 $T-T_c$；这种修正称为居里–外斯定律。“定律”一词并不妥当，因为在 $T_c$ 附近，三维铁磁体的实测和计算磁化率按 $T-T_c$ 的倒数幂发散，指数介于 $\tfrac54$ 与 $\tfrac43$ 之间，而非式（33.66）所预言的简单极点。³⁸不过，式（33.66）给出的对高温居里定律磁化率的主导修正（$1/T^2$ 阶）确实与精确结果（33.50）一致，而这也是居里–外斯定律唯一实质性的内容：对铁磁体磁化率的高温修正使其大于居里定律预言值。³⁹高温下超出主导项的修正与式（33.66）的预言不符，因此，一旦离开高温区域，居里–外斯定律就几乎只是一种将高温磁化率级数向较低 $T$ 外推的特别简单、却不甚可靠的方法。

铁磁体中偶极相互作用的后果：磁畴

虽然铁的临界温度超过 1000 K，但从架子上取来的一块铁通常看起来是“未磁化”的。然而，同一块铁受到磁场吸引的程度远强于顺磁性物质，而且可以用“永久磁体”沿它摩擦而将其“磁化”。

为解释这些现象，必须考虑迄今忽略的自旋间磁偶极相互作用。第三十二章已强调，这种相互作用很弱，最近邻之间的偶极耦合通常比交换耦合小一千倍。不过，交换相互作用的作用范围很短（在铁磁绝缘体中，随自旋间距指数衰减），而偶极相互作用则不是如此（只按间距的三次方倒数衰减）。因此，宏观样品的磁排列可以很复杂，因为涉及大量自旋时，偶极能变得显著，进而能大幅改变短程交换相互作用所偏好的自旋排列。

尤其是，用来表征铁磁态的均匀磁化排列，其偶极能极不经济。将样品分成具有宏观尺寸、各自均匀磁化的磁畴（domains），且各磁畴磁化矢量指向相差很大的方向，可以显著降低偶极能（图 33.12）。这种划分需付出交换能代价，因为畴边界附近的自旋与相邻取向不同磁畴内附近自旋之间，会产生不利的交换相互作用。不过，由于交换相互作用是短程的，只有畴边界附近的自旋会增加交换能。相反，磁偶极能的降低是体效应：由于相互作用的长程性质，形成磁畴时，每个自旋的偶极能都降低。因此，只要磁畴不是太小，即使交换相互作用强得多，形成磁畴仍然有利。每个自旋都能降低其（较小的）偶极能，但只有少数自旋（畴边界附近的自旋）增加其（较大的）交换能。

在 $T_c$ 以下，铁磁体保持或失去（通过分裂成磁畴）自发磁化的难易程度，以及施加磁场迫使自发磁化重新出现的过程，都与磁畴如何改变尺寸和取向的物理机制密切相关。两个磁畴之间边界的结构（称为畴壁，domain wall，或布洛赫壁，Bloch wall）起着重要作用。两个磁畴间的突变边界（图 33.13a）需付出不必要的高交换能代价。将自旋方向的反转分散到许多自旋上，可以降低畴壁的表面能。⁴⁰如果自旋反转分散在 $n$ 个自旋上，那么穿过畴壁时，每个自旋与相邻自旋的取向相差角度 $\pi/n$（图 33.13b）。因此，在粗略的经典图像中，相邻自旋对的交换能不是最小值 $-JS^2$，而是 $-JS^2\cos(\pi/n)\approx-JS^2[1-\tfrac12(\pi/n)^2]$。由于反转自旋需经过 $n$ 步，沿一列 $n$ 个自旋实现 $180^\circ$ 自旋反转的代价为

$$ \Delta E=n\left[-JS^2\cos\left(\frac\pi n\right)-(-JS^2)\right]\approx\frac{\pi^2}{2n}JS^2, \tag{33.67} $$

它比突变（一步）反转的代价低，比例因子为 $\pi^2/(4n)$。

校对注：式（33.67）使用 $n\gg1$ 的小角度近似；以突变反转能量 $2JS^2$ 为基准，比例应为 $\pi^2/(4n)$。

如果只考虑这一因素，畴壁会不断展宽，其厚度仅受偶极相互作用限制。然而，上述分析假定相邻自旋间的交换耦合完全各向同性，只依赖于它们之间的夹角。虽然海森堡哈密顿量（33.4）中的相互作用具有这种各向同性，但这只是因为推导中忽略了自旋–轨道耦合。在实际固体中，自旋会通过自旋–轨道耦合与电子电荷密度耦合，因此其能量不仅依赖于自旋之间的相对取向，也在一定程度上依赖于它们相对于晶轴的绝对取向。虽然自旋能量对绝对取向的这种依赖（称为各向异性能，anisotropy energy）可能很弱，但平均而言，它会对一列偏离原取向的自旋的能量贡献每个自旋一份固定能量，因此最终会超过不断增加畴壁厚度所能带来的越来越小的交换能降低。因此，实际上畴壁厚度由交换能与各向异性能之间的平衡决定。⁴¹

在远低于 $T_c$ 时，通过施加磁场使一块“未磁化”铁“磁化”，是磁畴重新排列和重新取向的过程。施加弱磁场时，沿磁场取向的磁畴可通过畴壁平滑运动而长大，以取向不利的磁畴缩小为代价（图 33.14）。⁴²弱磁场中的磁化过程是可逆的：当使磁畴定向的磁场回到零时，磁畴恢复原来的形态（整个样品的整体磁化为零）。然而，如果定向磁场不弱，取向有利的磁畴也可能通过不可逆过程扩展。例如，可逆的低场畴壁运动可能受到晶体缺陷阻碍，只有外场能的降低足够大时，畴壁才能越过这些缺陷。移除定向磁场后，这些缺陷可能阻止畴壁回到原来的未磁化排列。此时必须沿相反方向施加相当强的磁场，才能恢复未磁化排列。这种现象称为磁滞（hysteresis），使磁化强度恢复为零（通常从饱和状态开始）所需的磁场称为矫顽力。显然，矫顽力的值取决于样品的制备状态。

在很强磁场下，尽管需要付出各向异性能代价，整个磁畴作为整体转动可能在能量上变得有利。一旦以这种方式磁化，物质可能很难重新形成磁畴，除非仍有一些残余磁畴结构，为通过畴壁运动这种较不剧烈的磁畴生长方式提供形核中心。

偶极相互作用的后果：退磁因子

最后指出，磁偶极相互作用可以在各自旋位点产生很强的内场，使自旋实际感受到的局域场 $\boldsymbol{H}$ 与外加磁场有很大差别。第二十七章已较详细讨论绝缘体中类似的电现象。这里仅补充指出，铁磁材料中的效应可能很大：外场为零时，铁磁体内部的局域场可达数千 gauss。与电介质一样，内场值以复杂方式依赖于样品形状。常引入“退磁因子”（demagnetization factor），将外加磁场换算为真实局域场。

习题

1. 自旋算符乘积的界限

(a) 利用厄米矩阵的本征态构成完备正交归一集合这一事实，推导厄米算符所能具有的最大（最小）对角矩阵元等于其最大（最小）本征值。

(b) 证明，当 $\boldsymbol{R}\ne\boldsymbol{R}\prime$ 时，$\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}\prime)$ 所能具有的最大对角矩阵元为 $S^2$。（提示：用 $\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})+\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}\prime)$ 的平方表示该算符。）

(c) 证明，$\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}(\boldsymbol{R}\prime)$ 所能具有的最小对角矩阵元为 $-S(S+1)$。

2. 反铁磁体基态能量的界限

由习题 1 的某个结果推导式（33.17）中海森堡反铁磁体基态能量的下界。用第 704 页描述的状态作为试探基态，通过变分论证推导式（33.17）中的上界。

3. 简单“反铁磁体”的精确基态能量

证明，四自旋反铁磁最近邻海森堡线性链

$$ \mathcal H=J(\boldsymbol{\mathsf{S}}_1\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}_2+\boldsymbol{\mathsf{S}}_2\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}_3+\boldsymbol{\mathsf{S}}_3\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}_4+\boldsymbol{\mathsf{S}}_4\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}_1), \tag{33.68} $$

的基态能量为

$$ E_0=-4JS^2\left[1+\frac1{2S}\right]. \tag{33.69} $$

（提示：将哈密顿量写为

$$ \mathcal H=\tfrac12J[(\boldsymbol{\mathsf{S}}_1+\boldsymbol{\mathsf{S}}_2+\boldsymbol{\mathsf{S}}_3+\boldsymbol{\mathsf{S}}_4)^2-(\boldsymbol{\mathsf{S}}_1+\boldsymbol{\mathsf{S}}_3)^2-(\boldsymbol{\mathsf{S}}_2+\boldsymbol{\mathsf{S}}_4)^2]. \tag{33.70} $$

）

4. 自旋波态的性质

(a) 验证式（33.19）和（33.20）中的归一化。

(b) 推导式（33.27）。

(c) 证明 $\langle\boldsymbol{k}|\boldsymbol{\mathsf{S}}_\perp(\boldsymbol{R})|\boldsymbol{k}\rangle=0$，即状态 $|\boldsymbol{k}\rangle$ 中自旋波的相位未被指定。

5. 各向异性海森堡模型

考虑各向异性海森堡自旋哈密顿量

$$ \mathcal H=-\tfrac12\sum_{\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}\prime}[J_z(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R})\boldsymbol{\mathsf{S}}_z(\boldsymbol{R}\prime)+J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)\boldsymbol{\mathsf{S}}_\perp(\boldsymbol{R})\cdot\boldsymbol{\mathsf{S}}_\perp(\boldsymbol{R}\prime)] \tag{33.71} $$

其中 $J_z(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)\gt J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}\prime)\gt 0$。

(a) 证明，基态（33.5）和单自旋波态（33.23）仍是 $\mathcal H$ 的本征态，但自旋波激发能增加了

$$ S\sum_{\boldsymbol{R}}[J_z(\boldsymbol{R})-J(\boldsymbol{R})]. \tag{33.72} $$

(b) 证明，此时低温自发磁化强度相对于饱和值的偏离仅按 $-1/T$ 的指数变化。

(c) 证明，第 708 页关于二维中不可能存在自发磁化的论证不再成立。

6. 临界点附近的平均场理论

对于小 $x$，布里渊函数 $B_J(x)$ 具有形式 $Ax-Bx^3$，其中 $A$ 和 $B$ 为正。

(a) 推导：当 $T$ 从低温侧接近 $T_c$ 时，根据平均场理论，铁磁体的自发磁化强度按 $(T_c-T)^{1/2}$ 趋于零。

(b) 推导：在 $T_c$ 处，平均场理论中的磁化密度 $M(H,T_c)$ 按 $H^{1/3}$ 趋于零。（观测和计算表明，三维系统的指数更接近 $1/5$。二维伊辛模型的指数为 $1/15$。）

7. 亚铁磁性与反铁磁性的平均场理论

考虑由两类自旋构成的磁结构，两类自旋占据两个相互穿插的子晶格。设子晶格 1 内的自旋通过交换常数 $J_1$ 耦合，子晶格 2 内通过 $J_2$ 耦合，子晶格 1 与 2 之间通过 $J_3$ 耦合。

(a) 将简单铁磁体的平均场理论推广到这种结构，证明自发磁化的式（33.59）推广为两个子晶格磁化强度的两个耦合方程，形式为

$$ \begin{gathered}M_1=M_0[(H+\lambda_1M_1+\lambda_3M_2)/T],\\M_2=M_0[(H+\lambda_2M_2+\lambda_3M_1)/T].\end{gathered} \tag{33.73} $$

(b) 由此推导，$T_c$ 以上的零场磁化率为关于 $T$ 的一次多项式与二次多项式之比。(c) 验证：当两个子晶格中的离子相同且以铁磁方式耦合（$\lambda_1=\lambda_2\gt 0$，$\lambda_3\gt 0$）时，磁化率恢复为居里–外斯形式。

(d) 验证：当两个子晶格中的离子相同（$\lambda_1=\lambda_2\gt 0$），且以反铁磁方式耦合（$\lambda_3\lt 0$），并满足 $|\lambda_3|\gt |\lambda_1|$ 时，居里–外斯“定律”中的温度变为负值。

校对注：习题 7(d) 改为子晶格下标 2，与（33.73）和 7(c) 的定义一致。

8. 亚铁磁体与反铁磁体的高温磁化率

将高温磁化率展开推广到习题 7 描述的结构，并将对居里定律的精确首项修正（$O(1/T^2)$）与平均场结果比较。

9. 平均场理论中的低温自发磁化

证明，当 $T$ 远低于 $T_c$ 时，铁磁体的平均场理论预言自发磁化强度相对于饱和值的偏离按 $-1/T$ 的指数变化。