声子色散关系的测量（Measuring Phonon Dispersion Relations）

本文是「固体物理学」系列的第 24 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 24 章的中文译稿。

在晶格振动与外部探针（external probe）交换能量的实验中，可以提取简正模（normal mode）色散关系 $\omega_s(\boldsymbol{k})$ 的详细形式。这类探针中，能够提供最多信息的是中子束。可以将中子与晶体相互作用时失去（或获得）的能量，视为发射（或吸收）声子所致；通过测量散射中子的出射角和能量，就能直接获得声子谱的信息。探针为电磁辐射时，也能得到类似信息，其中最重要的两种情况是 X 射线与可见光。

无论入射粒子是中子还是光子，这些实验所依据的总体一般原理都大致相同，但由电磁探针获得的信息通常更有限，或更难解释。另一方面，对于无法通过中子散射分析的固体，电磁探针——尤其是 X 射线分析——至关重要。一个例子¹ 是固态氦-3；氦-3 核俘获中子的截面（cross section）极大，使中子谱学（neutron spectroscopy）无法进行。

中子和光子以不同方式探测声子谱，主要是因为它们的能量—动量关系非常不同：

$$ \begin{aligned}\text{中子：}\qquad E_n&=\frac{p^2}{2M_n},\\M_n&=1838.65m_e=1.67\times10^{-24}\ \mathrm{gm},\end{aligned} \tag{24.1} $$

$$ \begin{aligned}\text{光子：}\qquad E_\gamma&=pc,\\c&=2.99792\times10^{10}\ \mathrm{cm/sec}.\end{aligned} \tag{24.2} $$

在测量声子色散关系所涉及的整个能量范围内，这两种能量—动量关系都有极显著的差别（见图 24.1）。不过，一般分析中不利用探针 $E$ 随 $p$ 关系具体形式的部分，在两种情况下都大致相同。因此，虽然我们将从中子散射开始讨论，但讨论中不依赖中子能量—动量关系具体形式 (24.1) 的那些方面，也能应用于光子。

晶体对中子的散射

考虑一个动量为 $\boldsymbol{p}$、能量为 $E=p^2/2M_n$ 的中子入射到晶体上。由于中子仅与晶体中的原子核发生很强的相互作用，² 它会毫无困难地进入晶体，³ 随后以动量 $\boldsymbol{p}'$ 和能量 $E'=p'^2/2M_n$ 出射。

图 24.1  中子（$n$）与光子（$\gamma$）的能量—动量关系。当 $k=10^n$ cm$^{-1}$ 时，$E_n=2.07\times10^{2n-19}$ eV，$E_\gamma=1.97\times10^{n-5}$ eV。典型热能位于白色带内或附近。

假设晶体中的离子可以用谐近似（harmonic approximation）很好地描述。随后将说明，离子间相互作用中不可避免的非谐项要求如何修改这些结论。假设实验开始时，晶体处于声子占据数（phonon occupation numbers）⁴ 为 $n_{\boldsymbol{k} s}$ 的状态；实验后，由于与中子相互作用，晶体处于声子数为 $n'_{\boldsymbol{k} s}$ 的状态。能量守恒要求

$$ E'-E=-\sum_{\boldsymbol{k} s}\hbar\omega_{\boldsymbol{k} s}\Delta n_{\boldsymbol{k} s},\qquad\Delta n_{\boldsymbol{k} s}=n'_{\boldsymbol{k} s}-n_{\boldsymbol{k} s}; \tag{24.3} $$

即中子能量的变化，等于它穿过晶体时所吸收的声子的能量，减去所发射的声子的能量。⁵

因此，中子穿过晶体时的能量变化包含声子频率的信息。要从散射数据中分离出这些信息，还需要第二个守恒定律，即晶体动量守恒（conservation of crystal momentum）。它是中子—离子相互作用的一种对称性所导致的非常一般的结果：

$$ H_{n-i}=\sum_{\boldsymbol{R}}w(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})). \tag{24.4} $$

这里 $w$ 是中子与晶体原子核之间的相互作用势（作用范围非常短），$\boldsymbol{r}$ 是中子坐标。将中子坐标 $\boldsymbol{r}$ 平移任意布拉菲格子矢量 $\boldsymbol{R}_0$，同时按 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})\to\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}_0)$ 置换离子位移变量 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$，相互作用 (24.4) 不变，因为同时作这两种替换后，(24.4) 成为：

$$ \begin{aligned}H_{n-i}&\to\sum_{\boldsymbol{R}}w(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R}_0-\boldsymbol{R}-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}_0))\\&=\sum_{\boldsymbol{R}}w(\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}_0)-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}_0)).\end{aligned} \tag{24.5} $$

由于对布拉菲格子中的所有矢量求和，(24.5) 与 (24.4) 完全相同。⁶

量子理论的基本结果之一是，哈密顿量的对称性意味着守恒定律。附录 M 表明，这一特定对称性意味着以下守恒定律：

$$ \boldsymbol{p}'-\boldsymbol{p}=-\sum_{\boldsymbol{k} s}\hbar\boldsymbol{k}\,\Delta n_{\boldsymbol{k} s}+(\text{倒格子矢量}\times\hbar). \tag{24.6} $$

若将声子的晶体动量定义为 $\hbar$ 乘以其波矢，(24.6) 就给出一个与动量守恒极为相似的陈述：中子动量的变化恰好是声子总晶体动量变化的负值，允许相差一个附加的倒格子矢量。

不过，必须强调，一般而言，声子的晶体动量并不伴随离子系统的任何真实动量。“晶体动量”只是 $\hbar$ 乘以声子波矢的名称。⁷ 这一名称意在表明，$\hbar\boldsymbol{k}$ 常常起到与动量非常相似的作用，式 (24.6) 显然就是如此。由于晶体具有平移对称性（translational symmetry），存在一个类似动量守恒的守恒定律并不令人意外；⁸ 但由于这一对称性只是布拉菲格子的对称性（而不是空无一物的空间的完全平移对称性），这一守恒定律弱于动量守恒也并不令人意外（即晶体动量的守恒允许相差一个附加的倒格子矢量）。

由于有两个守恒定律，可以用简单的方法从中子散射数据中提取 $\omega_s(\boldsymbol{k})$ 的显式形式。为说明这一点，我们考察从晶体出射的散射中子的分布，根据中子穿过晶体时与之交换能量的声子总数，将可能发生的散射类型分类。

零声子散射

此时，晶体的末态与初态相同。能量守恒（式 (24.3)）意味着中子能量不变（即散射是弹性的，elastic）；晶体动量守恒（式 (24.6)）意味着中子动量只能改变 $\hbar\boldsymbol{K}$，其中 $\boldsymbol{K}$ 是倒格子矢量。如果将入射和散射中子的动量写成：

$$ \boldsymbol{p}=\hbar\boldsymbol{q},\quad\boldsymbol{p}'=\hbar\boldsymbol{q}', \tag{24.7} $$

这些限制就成为：

$$ q'=q,\quad\boldsymbol{q}'=\boldsymbol{q}+\boldsymbol{K}. \tag{24.8} $$

式 (24.8) 正是入射与散射 X 射线波矢必须满足的劳厄条件（Laue conditions），只有满足这一条件，弹性散射的 X 射线才能产生布拉格峰（Bragg peak，见第 99 页）。由于动量为 $\boldsymbol{p}=\hbar\boldsymbol{q}$ 的中子可以视为波矢为 $\boldsymbol{q}$ 的平面波，出现劳厄条件是预料之中的。我们得出结论：不产生也不湮灭任何声子的弹性散射中子，只出现在满足布拉格条件（Bragg condition）的方向上，并且给出与第 6 章讨论弹性 X 射线散射时所述完全相同的晶体结构信息。

单声子散射

恰好吸收或发射一个声子的中子提供最重要的信息。在吸收的情况下（通常更为重要），能量与晶体动量守恒意味着

$$ \begin{aligned}E'&=E+\hbar\omega_s(\boldsymbol{k}),\\\boldsymbol{p}'&=\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k}+\hbar\boldsymbol{K},\end{aligned} \tag{24.9} $$

其中 $\boldsymbol{k}$ 和 $s$ 是被吸收声子的波矢和分支指标。在发射的情况下，有：

$$ \begin{aligned}E'&=E-\hbar\omega_s(\boldsymbol{k}),\\\boldsymbol{p}'&=\boldsymbol{p}-\hbar\boldsymbol{k}+\hbar\boldsymbol{K},\end{aligned} \tag{24.10} $$

其中声子被发射到分支 $s$，其波矢为 $\boldsymbol{k}$。

在两种情况下，都可以利用晶体动量定律，用中子动量转移（momentum transfer）$\boldsymbol{p}'-\boldsymbol{p}$ 表示 $\boldsymbol{k}$。此外，当所得 $\boldsymbol{k}$ 的表达式代入能量守恒定律时，可以忽略这一关系中的附加倒格子矢量，因为每个 $\omega_s(\boldsymbol{k})$ 都是倒格子中的周期函数：

$$ \omega_s(\boldsymbol{k}\pm\boldsymbol{K})=\omega_s(\boldsymbol{k}). \tag{24.11} $$

因此，两个守恒定律给出一个方程：

$$ \boxed{\frac{p'^2}{2M_n}=\frac{p^2}{2M_n}+\hbar\omega_s\left(\frac{\boldsymbol{p}'-\boldsymbol{p}}{\hbar}\right),\quad\text{吸收声子，}} \tag{24.12} $$

或

$$ \boxed{\frac{p'^2}{2M_n}=\frac{p^2}{2M_n}-\hbar\omega_s\left(\frac{\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}'}{\hbar}\right),\quad\text{发射声子。}} \tag{24.13} $$

在给定实验中，入射中子的动量和能量通常是指定的。因此，对于给定的声子色散关系 $\omega_s(\boldsymbol{k})$，(24.12) 和 (24.13) 中仅有的未知量是中子末态动量 $\boldsymbol{p}'$ 的三个分量。一般而言，一个联系矢量 $\boldsymbol{p}'$ 三个分量的方程（如果存在任何解）会在三维 $\boldsymbol{p}'$ 空间中确定一个曲面（或若干曲面）。如果只考察沿某一确定方向出射的中子，就确定了 $\boldsymbol{p}'$ 的方向，因此可以预期，只在该曲面上的一个点（或若干曲面上的有限个点）找到解。⁹

若选定一个一般方向，只会在 $p'$ 的几个离散值处看到经单声子过程散射的中子，相应地也只会在几个离散能量 $E'=p'^2/2M_n$ 处看到它们。知道散射中子的能量和出射方向，就可以构造 $\boldsymbol{p}'-\boldsymbol{p}$ 和 $E'-E$，从而断定晶体有一个简正模，其频率为 $|E\prime-E|/\hbar$，波矢为 $\pm(\boldsymbol{p}'-\boldsymbol{p})/\hbar$。这样就测得了晶体声子谱中的一个点。改变所有可调参数（入射能量、晶体取向和探测方向），就可以收集大量这样的点，相当有效地描绘整个声子谱（图 24.2）。不过，只有能够将单声子过程散射的中子与其他中子区分开来，才能做到这一点。下面具体考察双声子过程。

校对注：对中子能量差取绝对值，以同时适用于声子吸收和发射。

双声子散射（Two-Phonon Scattering）

在双声子过程中，中子可以吸收或发射两个声子，也可以发射一个声子并吸收另一个（这也可以描述为一个声子的散射）。为具体起见，讨论双声子吸收的情形。此时守恒定律具有以下形式：

$$ \begin{aligned}E'&=E+\hbar\omega_s(\boldsymbol{k})+\hbar\omega_{s'}(\boldsymbol{k}'),\\\boldsymbol{p}'&=\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k}+\hbar\boldsymbol{k}'+\hbar\boldsymbol{K}.\end{aligned} \tag{24.14} $$

若通过晶体动量守恒定律消去 $\boldsymbol{k}'$，就得到一个限制条件：

$$ E'=E+\hbar\omega_s(\boldsymbol{k})+\hbar\omega_{s'}\left(\frac{\boldsymbol{p}'-\boldsymbol{p}}{\hbar}-\boldsymbol{k}\right). \tag{24.15} $$

图 24.2
由中子散射测得的铝的声子色散关系，测量沿 $\boldsymbol{k}$ 空间中的 $\Gamma X$ 和 $\Gamma KX$ 线进行。频率的估计误差为 1 至 2%。每个点代表一个观测到的中子群。（据 J. Yarnell 等，Lattice Dynamics，R. F. Wallis 编，Pergamon，纽约，1965。）注意，两条横向分支沿 $\Gamma X$（四重轴，4-fold axis）简并，但沿 $\Gamma K$（二重轴，2-fold axis）不简并。见第 22 章。

对于每一个固定的 $\boldsymbol{k}$ 值，都可以重复分析单声子情形时的讨论：对于给定的探测方向，散射中子只会出现在一小组离散能量处。不过，现在 $\boldsymbol{k}$ 可以在整个第一布里渊区内连续变化，因为被吸收声子的波矢并不能由我们控制。随着 $\boldsymbol{k}$ 变化，出射中子的离散能量也会变化。因此，沿指定方向从这一过程出射的全部中子将具有连续的能量分布。

显然，这一结论不限于所考察的那种特定双声子过程，甚至不限于双声子过程。只有在单声子过程中，守恒定律的限制才足够强，使沿给定方向散射的中子只能具有一组离散能量。若一个中子与两个或更多声子交换了能量，自由度的数目就充分超过守恒定律的数目，因而在任何方向都可以观测到散射中子的连续能量分布。

因此，可以通过沿给定方向散射的中子的能量分布的统计结构，将单声子过程与其他过程（称为多声子本底，multiphonon background）区分开来，而不是根据单个散射中子的任何特征。单声子过程会在孤立的能量处贡献尖峰，多声子过程则给出连续本底（图 24.3）。因此，可以将尖峰所在之处的能量和动量转移识别为单声子过程的能量和动量转移。

图 24.3
沿给定方向散射的中子的相对数目随中子能量的变化。光滑曲线是多声子过程造成的本底。在理想谐晶体中，单声子过程会贡献尖峰。在实际晶体中，由于声子寿命效应，这些峰会展宽（虚线曲线）。

单声子峰的宽度（Widths of One-Phonon Peaks）

图 24.4 给出一些典型的中子分布。注意，虽然单声子峰通常十分明确，但它们并不像上述分析所暗示的那样完全尖锐。这是因为实际晶体并不完全是谐性的。谐近似的定态（stationary states）只是近似定态：即使实际晶体在某一时刻处于这样一个态（由一组特定的声子占据数表征），它最终也会演化为其他这类态（由不同的声子占据数表征）的叠加。不过，如果谐近似的定态是精确定态的相当好的近似，这种衰变可能足够缓慢，允许继续用声子描述晶体内发生的过程，条件是赋予

图 24.4
一些典型的实验中子群。在所有情形中，都将固定入射能量下沿固定方向出射的中子数，作为一个能够区分散射中子能量的变量的函数绘出。(a) 铜。（G. Gobert 和 B. Jacrot，J. Phys. Radium 19 (1959)。）(b) 锗。（I. Pelah 等，Phys. Rev. 108, 1091 (1957)。）

声子有限的寿命，以反映近似谐定态最终会发生衰变。对于寿命为 $\tau$ 的声子，其能量将有 $\hbar/\tau$ 的不确定度。确定单声子峰的能量守恒定律也就相应地减弱。

第 25 章将更详细地讨论这些问题。这里只指出，单声子峰虽有展宽，仍然可以清楚地辨认。从它们的位置推得的 $\omega_s(\boldsymbol{k})$ 曲线相互一致，有力地证实了这些峰确实源于单声子过程，因为单声子峰提供的数据有相当多的冗余。可以通过多种方式提取某一特定声子的信息，即考察能量交换相同、动量转移相差一个倒格子矢量的散射事件。¹⁰

必须强调，在足够广的能量和动量转移范围内，单声子守恒定律 (24.12) 确实有解，因而可以系统地描绘声子谱。为说明这一点，首先为简单起见，假设入射中子的能量 $E$ 相对于声子能量小到可以忽略。由于最大声子能量的量级为 $k_B\Theta_D$，而 $\Theta_D$ 的典型值介于 100 至 1000 K，这意味着所讨论的是所谓的冷中子散射（cold-neutron scattering）。

守恒定律与单声子散射

若 $E=0$，式 (24.13) 将完全无解（能量为零的中子不可能在发射一个声子的同时保持能量守恒）。不过，声子吸收的守恒定律 (24.12) 化为

$$ \frac{p'^2}{2M_n}=\hbar\omega_s\left(\frac{\boldsymbol{p}'}{\hbar}\right), \tag{24.16} $$

对于 $\boldsymbol{p}'$ 的任何方向，它都必定有解。这从图 24.5 可以明显看出。

校对注：式（24.16）统一使用式（24.12）的中子质量 $M_n$，以免与电子质量 $m$ 混淆。

图 24.5
用一维图示说明：对于能量为零的入射中子，单声子吸收的守恒定律总能满足。在两条曲线相交的每一处，方程 $\hbar^2 k^2/2M_n=\hbar\omega(\boldsymbol{k})$ 都成立。从解析上说，这是因为在 $p'$ 很小时，中子能量按平方规律趋于零，而 $\hbar\omega_s(\boldsymbol{p}'/\hbar)$ 或者线性趋于零（声学分支），或者趋于一个常数（光学分支）。因此，对于足够小的 $p'$，无论 $\boldsymbol{p}'$ 的方向如何，中子能量总小于声子能量。不过，随着 $p'$ 增大，中子能量可以无限增大，而 $\hbar\omega_s(\boldsymbol{p}'/\hbar)$ 的上界是该分支中的最大声子能量。因此，由连续性可知，对 $\boldsymbol{p}'$ 的每个方向，至少有一个 $p'$ 值使 (24.16) 左右两边相等。声子谱的每个分支 $s$ 都必定至少有一个这样的解。通常不止一个解（图 24.5）。这是因为末态中子的能量相对较小（即使 $\boldsymbol{p}'/\hbar$ 位于布里渊区表面也是如此）：波矢为 $\boldsymbol{q}$（以埃的倒数计）的中子，其能量为

$$ \begin{aligned}E_N&=2.1(q[\text{Å}^{-1}])^2\times10^{-3}\ \text{eV},\\\frac{E_N}{k_B}&=24(q[\text{Å}^{-1}])^2\ \text{K}.\end{aligned} \tag{24.17} $$

因此，即使 $q$ 位于区边界，$E_N/k_B$ 与典型的 $\Theta_D$ 相比仍然很小。

当入射中子能量不为零时，仍会存在对应于吸收各分支声子的解（图 24.6）。如果超过某一

图 24.6
入射中子波矢为 $\boldsymbol{k}^i$ 时，单声子守恒定律的图解。声子吸收的守恒定律可以写成

$$ E_N(\hbar\boldsymbol{k}+\hbar\boldsymbol{k}^i)-E_N(\hbar\boldsymbol{k}^i)=\hbar\omega(\boldsymbol{k}), $$

其中 $\hbar\boldsymbol{k}$ 是中子动量转移（也对应被吸收声子的晶体动量），末态中子动量为 $\hbar(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^i)$，$E_N(\boldsymbol{p})=p^2/(2M_n)$。为绘出此方程的左边，将中子的能量—动量曲线水平平移，使其中心位于 $\boldsymbol{k}=-\boldsymbol{k}^i$ 而不是 $\boldsymbol{k}=0$，并向下平移 $E_N(\hbar\boldsymbol{k}^i)$。这一平移后的曲线与声子色散曲线 $\hbar\omega(\boldsymbol{k})$ 相交的每一处都有解。在本例中，四个不同的散射中子波矢 $\boldsymbol{k}_1^f\cdots\boldsymbol{k}_4^f$ 对应有解。

校对注：图 24.6 的 k 表示动量转移所对应的波矢；末态中子波矢需加上入射波矢。

阈能，还会出现对应于发射一个声子的其他解。因此，单声子峰并不缺乏；人们已发展出巧妙的方法，沿 $\boldsymbol{k}$ 空间中的不同方向，在大量点上以相当高的精度（百分之几）描绘晶体的声子谱。

晶体的电磁散射（ELECTROMAGNETIC SCATTERING BY A CRYSTAL）

完全相同的守恒定律（能量与晶体动量守恒）也适用于晶体中离子对光子的散射，但由于光子能量—动量关系的定量形式十分不同，要提取关于整个声子谱的简单、直接的信息，比从中子散射数据中提取困难得多。最常用的两种电磁方法是 X 射线和可见光的非弹性散射，两者各有局限。

声子谱的 X 射线测量

第 6 章讨论 X 射线散射时采用的是静止晶格模型（因此它等价于讨论中子散射时所述的零声子弹性散射）。放宽刚性、静止离子晶格的假设后，X 射线光子也可以像中子一样，在发射和／或吸收一个或多个声子的同时发生非弹性散射。不过，非弹性散射光子的能量变化极难测量。典型的 X 射线能量是几个 keV（$10^3$ eV），而典型声子能量是几个 meV（$10^{-3}$ eV）；当 $\Theta_D$ 为室温量级时，至多也只有百分之几 eV。一般而言，分辨如此微小的光子频移十分困难，因而只能在偏离满足布拉格条件的角度处的漫散射辐射本底中，测量所有频率的总散射辐射随散射角的变化。由于能量分辨上的这一困难，单声子过程的特征结构丢失，它们对任一角度的总散射辐射的贡献，也就不能简单地与多声子过程的贡献区分开来。

不过，可以通过另一种途径提取一些信息。附录 N 表明，在给定角度散射的辐射总强度中，单声子过程的贡献完全由参与单声子事件的少数声子的频率和极化的一个简单函数确定。因此，只要能设法从这一强度中减去多声子过程的贡献，就可以通过测量散射 X 射线强度随角度和入射 X 射线频率的变化，提取声子色散关系。通常尝试通过理论计算多声子贡献来做到这一点。不过，还必须考虑 X 射线与中子不同，它与电子有很强的相互作用。非弹性散射电子会对强度有所贡献（所谓的康普顿本底，Compton background），也必须对此进行修正。

由于这些原因，X 射线散射探测声子谱的能力远不及中子散射。中子的重要优点是能够实现良好的能量分辨率，一旦分辨出散射能量，提供丰富信息的单声子过程就可以清楚地辨认。

声子谱的光学测量

若可见光光子（通常来自高强度激光束）在发射或吸收声子的同时发生散射，其能量（或频率）变化仍然很小，但可以测量，一般采用干涉技术（interferometric techniques）。因此，可以分离出光散射中的单声子贡献，并提取参与该过程的声子的 $\omega_s(\boldsymbol{k})$ 值。不过，由于光子波矢（量级为 $10^5\ \text{cm}^{-1}$）相对于布里渊区的尺度（量级为 $10^8\ \text{cm}^{-1}$）很小，所提供的信息仅涉及 $\boldsymbol{k}=0$ 紧邻区域中的声子。若发射或吸收的是声学声子，这一过程称为布里渊散射（Brillouin scattering）；若是光学声子，则称为拉曼散射（Raman scattering）。

考察这些过程的守恒定律时，必须注意，晶体内的光子波矢与其自由空间中的值相差一个因子，即晶体折射率（index of refraction）$n$（因为晶体内的频率不变，而速度为 $c/n$）。因此，若入射与散射光子在自由空间中的波矢为 $\boldsymbol{q}$ 和 $\boldsymbol{q}'$，相应角频率为 $\omega$ 和 $\omega'$，单声子过程中的能量与晶体动量守恒要求

$$ \hbar\omega'=\hbar\omega\pm\hbar\omega_s(\boldsymbol{k}) \tag{24.18} $$

以及

$$ \hbar n\boldsymbol{q}'=\hbar n\boldsymbol{q}\pm\hbar\boldsymbol{k}+\hbar\boldsymbol{K}. \tag{24.19} $$

这里，上方符号表示吸收声子的过程（称为散射辐射的反斯托克斯分量，anti-Stokes component），下方符号表示发射声子的过程（斯托克斯分量，Stokes component）。由于光子波矢 $\boldsymbol{q}$ 和 $\boldsymbol{q}'$ 的大小相对于布里渊区尺度很小，对于第一布里渊区中的声子波矢 $\boldsymbol{k}$，只有倒格子矢量 $\boldsymbol{K}$ 为零时，才能满足晶体动量守恒定律 (24.19)。

图 24.7 示出这两种过程，晶体动量守恒所施加的限制

图 24.7
光子从自由空间波矢 $\boldsymbol{q}$ 散射到自由空间波矢 $\boldsymbol{q}'$，散射角为 $\theta$，同时 (a) 吸收一个波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的声子（反斯托克斯），或 (b) 发射一个波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的声子（斯托克斯）。晶体内的光子波矢为 $n\boldsymbol{q}$ 和 $n\boldsymbol{q}'$，其中 $n$ 是折射率。则示于图 24.8。由于任何声子的能量至多为 $\hbar\omega_D\approx10^{-2}$ eV 的量级，光子能量（典型值为几个 eV），因而光子波矢的大小，变化都很小——即图 24.8 中的三角形非常接近等腰三角形。立即可知，声子波矢的大小 $k$ 与光的角频率及散射角 $\theta$ 的关系为

$$ k=2nq\sin\tfrac12\theta=(2\omega n/c)\sin\tfrac12\theta. \tag{24.20} $$

$\boldsymbol{k}$ 的方向由图 24.8 中的几何作图确定，频率 $\omega_s(\boldsymbol{k})$ 则由测得的光子频率的（微小）变化确定。

图 24.8
式 (24.20) 的几何推导。由于光子能量几乎不变，三角形是等腰的。由于该过程发生在晶体内部，光子波矢为 $n\boldsymbol{q}$ 和 $n\boldsymbol{q}'$，其中 $n$ 是晶体的折射率。图中画的是声子吸收（反斯托克斯）的情形。如果将 $\boldsymbol{k}$ 的方向反转，它也描述声子发射（斯托克斯）的情形。

在布里渊散射中，声子是 $\boldsymbol{k}$ 空间原点附近的声学声子，$\omega_s(\boldsymbol{k})$ 具有 $\omega_s(\boldsymbol{k})=c_s(\hat{\boldsymbol{k}})k$ 的形式（式 (22.65)）。于是，式 (24.20) 将声速 $c_s(\hat{\boldsymbol{k}})$ 与散射角及光子能量的变化 $\Delta\omega$ 联系起来：

$$ c_s(\hat{\boldsymbol{k}})=\frac{\Delta\omega}{2\omega}\frac{c}{n}(\csc\tfrac12\theta). \tag{24.21} $$

图 24.9 给出一些典型数据。

辐射与晶格振动相互作用的波动图像（WAVE PICTURE OF THE INTERACTION OF RADIATION WITH LATTICE VIBRATIONS）

在上述讨论中，中子（或光子）与声子都被视为粒子，关键的方程 (24.3) 和 (24.6) 表达了能量与晶体动量守恒。不过，将声子和入射辐射视为波而不是粒子，也可以推导出同样的限制条件。对于电磁散射，这是自然的经典处理方法，也是布里渊最初发展这一理论时所采用的观点。对于中子散射，波动图像仍然属于量子力学，因为虽然不再将声子视为粒子，却将中子视为波。这一不同的观点不可能包含任何新的物理内容，但它有时能提供额外的认识，因此仍值得记住。

图 24.9
(a) 布里渊谱（Brillouin spectrum）的特征结构。图示强度随频率的变化。在高于和低于主激光束频率的频率处，有清楚可辨的峰，分别对应一条纵向和两条横向声学分支。（S. Fray 等，Light Scattering Spectra of Solids，G. B. Wright 编，Springer，纽约，1969。）(b) CdS 和 CdSe 的拉曼谱（Raman spectra），显示由纵向和横向光学声子决定的峰。（R. K. Chang 等，同上。）现在考察角频率为 $E/\hbar$、波矢为 $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{p}/\hbar$ 的波，与晶体中角频率为 $\omega$、波矢为 $\boldsymbol{k}$ 的某一特定简正模之间的相互作用。假设只激发这一特定简正模；即每次考察该波与一个声子的相互作用。暂时也忽略晶体的微观结构，将所关心的简正模视为连续介质中的波状扰动。若这一扰动不运动，就会向入射辐射呈现周期性的密度变化，起到衍射光栅（diffraction grating）的作用（图 24.10），散射波由布拉格定律（Bragg's law）确定。不过，这一扰动并不静止，而是运动的，

图 24.10
在声子相速度（phase velocity）为零的参考系中，声子对中子的散射。声子表现为静止的衍射光栅，即产生离子密度高低交替的区域。布拉格条件（第 97 页）$m\lambda=2d\sin\theta$（$m$ 为整数）可以写成

$$ \frac{2\pi m}{q}=\frac{4\pi}{k}\sin\theta $$

或

$$ mk=2q\sin\theta $$

或

$$ mk=(\boldsymbol{q}'-\boldsymbol{q})\cdot\hat{\boldsymbol{k}}. $$

由于布拉格反射是镜面反射（specular，入射角等于反射角），且大小 $q'$ 等于大小 $q$，可知 $\boldsymbol{q}'-\boldsymbol{q}$ 必须平行于 $\boldsymbol{k}$，因此 $\boldsymbol{q}'-\boldsymbol{q}=m\boldsymbol{k}$。

其运动速度为声子的相速度，方向沿 $\boldsymbol{k}$，大小为 $\omega/k$：

$$ \boldsymbol{v}=\frac{\omega}{k}\hat{\boldsymbol{k}}. \tag{24.22} $$

可以在以相速度 $\boldsymbol{v}$ 运动的参考系中描述衍射，从而处理这一复杂情况。在该参考系中，扰动是静止的，可以应用布拉格条件。改变参考系不会改变波矢（包括晶格波以及入射波、散射波的波矢），因为它既不改变等相位面之间的距离，也不改变它们的取向。¹¹ 不过，频率会发生多普勒频移（Doppler shift）：

$$ \begin{aligned}\bar\omega&=\omega-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{v},\\\frac{\bar E}{\hbar}&=\frac{E}{\hbar}-\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{v},\\\frac{\bar E'}{\hbar}&=\frac{E'}{\hbar}-\boldsymbol{q}'\cdot\boldsymbol{v}.\end{aligned} \tag{24.23} $$

由于静止光栅的布拉格反射不改变入射波的频率，$\bar E'$ 必须等于 $\bar E$。于是，变换定律 (24.23) 意味着，在原参考系中，散射波的频率必须发生变化：

$$ \frac{E'}{\hbar}=\frac{E}{\hbar}+(\boldsymbol{q}'-\boldsymbol{q})\cdot\boldsymbol{v}. \tag{24.24} $$

布拉格反射引起的波矢变化具有以下形式：

$$ \boldsymbol{q}'=\boldsymbol{q}+m\boldsymbol{k}, \tag{24.25} $$

其中整数 $m$ 是布拉格反射的级次（如图 24.10 所示）。¹² 由于改变参考系时波矢不变，这一关系在两个参考系中都成立。

将 (24.25) 代入 (24.24)，可知原参考系中的频移为

$$ \frac{E'}{\hbar}=\frac{E}{\hbar}+m\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{v}. \tag{24.26} $$

若将相速度 $\boldsymbol{v}$ 的显式形式 (24.22) 代入 (24.26)，得到

$$ E'=E+m\hbar\omega. \tag{24.27} $$

式 (24.25) 和 (24.27) 表明，运动参考系中的 $m$ 级布拉格反射，对应于在实验室参考系中描述为吸收或发射 $m$ 个给定类型声子的过程。涉及多个简正模的多声子过程，显然对应于相应运动衍射光栅的连续布拉格反射。

波矢条件 (24.25) 似乎缺少晶体动量守恒定律 (24.6) 中的任意附加倒格子矢量。实际上，只要承认晶体是离散系统而不是连续体，这一矢量也隐含在 (24.25) 中。只有在连续体中，才能为每个简正模赋予唯一的波矢 $\boldsymbol{k}$。在离散晶格中，简正模波矢的定义允许相差一个附加的倒格子矢量（见第 439 页）。

因此，从波动观点看，能量守恒定律只是表述了波从运动衍射光栅反射时的多普勒频移；晶体动量守恒定律则是该光栅的布拉格条件，附加的倒格子矢量表达了光栅所能具有的多种取向，这些取向源于其所依托的晶体的离散周期性。

习题（PROBLEMS）

1.

(a) 画图示出若干可能的双声子过程，其中中子以动量 $\boldsymbol{p}$ 入射，以动量 $\boldsymbol{p}'$ 出射。标注图时，应充分考虑守恒定律。

(b) 对三声子过程重复 (a)。

2.

(a) 对声子发射的情形，重复图 24.6 中给出的图解方法。

(b) 验证：入射中子能量为零时，不可能有解。

(c) 定性地说，解的数目如何依赖于入射波矢 $\boldsymbol{k}_i$？

3.

本题基于附录 L 和 N。

(a) 利用式 (N.17) 中给出的 $W$ 的定义，以及 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{R})$ 的展开式 (L.14)，证明德拜—沃勒因子（Debye-Waller factor）具有以下形式：

$$ e^{-2W}=\exp\left\{-v\int\frac{d\boldsymbol{k}}{(2\pi)^d}\sum_s\frac{\hbar}{2M\omega_s(\boldsymbol{k})}(\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{\epsilon}_s(\boldsymbol{k}))^2\coth\tfrac12\beta\hbar\omega_s(\boldsymbol{k})\right\} \tag{24.28} $$

其中 $v$ 是相应的晶胞体积。

(b) 证明：在一维和二维中，$e^{-2W}=0$。（考察被积函数在 $k$ 很小时的行为。）这对一维或二维晶体有序可能存在与否有何意义？

(c) 估计三维晶体的德拜—沃勒因子的大小。