费米面的测量

本文是「固体物理学」系列的第 14 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 14 章的中文译稿。

有一类可测量的物理量，主要因其包含费米面（Fermi surface）几何结构的详细信息而受到重视。这些量仅依赖于普适常数（$e$、$h$、$c$ 或 $m$）、实验可控变量（如温度、频率、磁场强度、晶体取向），以及完全由费米面形状决定的电子能带结构信息。

我们已经遇到过这样的一个量，即强场霍尔常数（high-field Hall constant）。在非补偿金属中，对于给定磁场方向不存在开放轨道时，它完全由费米面的类空穴和类粒子分支所包围的 $\boldsymbol{k}$ 空间体积决定。

提供这类费米面信息的物理量，在金属物理中占有特别重要的地位。测量这些量，几乎总是需要在极低温度下使用非常纯净物质的单晶（以消除对弛豫时间的依赖），而且往往要在很强的磁场下进行（使电子在 $\boldsymbol{k}$ 空间中的半经典运动过程中探查费米面的几何结构）。

确定金属费米面的重要性十分明确：费米面的形状与金属的输运系数密切相关（如第 12、13 章所述），也与其平衡性质和光学性质密切相关（第 15 章将予以说明）。实验测得的费米面，为第一性原理能带结构计算提供了目标。它也能为唯象晶体势中的参数拟合提供数据，随后可以用该晶体势计算其他现象。即便没有其他用途，费米面测量也可进一步检验单电子半经典理论的有效性，因而值得研究，因为现在已有多种相互独立的方式提取费米面信息。

在用于推断费米面几何形状的技术中，有一种已被证明远比其他技术强大：德哈斯—范阿尔芬效应（以及一组与其密切相关、基于同一物理机制的效应）。关于大量金属费米面的庞大且不断增长的精确知识，几乎完全来自这一现象。其他技术无论在能力还是简便性上，都无法与之相提并论。因此，本章的大部分内容将用于阐述德哈斯—范阿尔芬效应。最后，我们将简要讨论一些其他效应，它们曾被用于提供补充性的几何信息。

德哈斯—范阿尔芬效应

图 14.1 给出了 de Haas 和 van Alphen 于 1930 年进行的一项著名实验的结果。他们在 14.2 K 下的强磁场中，测量了铋样品的磁化强度（magnetization）$M$ 随磁场的变化，发现 $M/H$ 出现振荡。

乍看之下，这种仅在低温和强磁场下观测到的奇特现象，似乎不会成为揭示金属电子结构的非凡钥匙，但事实正是如此。直到 1952 年，Onsager 才指出了其全部用途。自最初的实验以来，特别是约 1960 年以来，

人们已在许多金属中仔细观测到磁化率（magnetic susceptibility）¹ $\chi=dM/dH$ 随磁场变化的这种振荡现象。

如果将磁化率对磁场倒数而非磁场作图，振荡便表现出显著的规律性。这时可以清楚地看出，$\chi$ 对 $1/H$ 具有周期性依赖，尽管往往会有两个或更多周期叠加。图 14.2 给出了一些典型数据。

类似的振荡行为不仅在磁化率中出现，也在电导率（舒布尼科夫—德哈斯效应，Shubnikov–de Haas effect）、磁致伸缩（magnetostriction，样品尺寸对磁场强度的依赖）中出现；只要测量足够仔细，几乎所有其他量中也都能观测到。甚至在强场霍尔“常数”中也观测到了这种微小振荡，清楚地表明该效应必然源于半经典模型的失效。图 14.3 展示了多种这样的效应。

将德哈斯—范阿尔芬效应发展为探测费米面的有力工具，主要归功于 D. Shoenberg。他对这一现象历史的叙述²读来既令人愉悦，又富有启发性。两种主要技术被广泛用于测量这些振荡。第一种利用磁化样品在磁场中受到与其磁矩成正比的力矩这一事实，³只需测量金属样品的角位置振荡；样品通过细丝悬挂，随着磁场强度及相应的磁化强度 $M(H)$ 变化而摆动。第二种技术在需要强磁场时尤其有用：施加一个磁场脉冲⁴，测量环绕样品的拾取线圈（pickup coil）中产生的感应电压。由于该电压正比于 $dM/dt=(dM/dH)(dH/dt)$，便可测量磁化率随磁场的振荡。

甚至在 Onsager 指出布洛赫电子德哈斯—范阿尔芬效应理论的关键之前，Landau⁵ 就已在自由电子理论中解释了这些振荡，将其归因于磁场中闭合电子轨道的量子化，因而将其视为一种纯粹量子现象的直接观测表现。Onsager⁶ 指出，经过一个振荡周期时 $1/H$ 的变化量 $\Delta(1/H)$，由下列极为简单的关系确定，这使该现象的意义和重要性进一步增加：

$$ \Delta\left(\frac1H\right)=\frac{2\pi e}{\hbar c}\frac1{A_e} \tag{14.1} $$

其中，$A_e$ 是在垂直于磁场的平面内，费米面的任一极值截面积。

图 14.4 示意了一些极值截面积。如果取 $z$ 轴沿磁场方向，则高度 $k_z$ 处费米面截面的面积为 $A(k_z)$，极值截面积 $A_e$ 就是在满足 $dA/dk_z=0$ 的 $k_z$ 处 $A(k_z)$ 的值。（因此，最大和最小截面都属于极值截面。）

由于改变磁场方向会使不同的极值截面积起作用，因此可以测绘出费米面的所有极值截面积。这通常能提供足够的信息，用以重建费米面的实际形状。在实践中，这项任务可能很复杂，因为如果某些方向上存在不止一条极值轨道，或者不止一个能带部分填充，就会有多个周期叠加。与其直接从数据中分离出几何信息，往往不如先猜测费米面的形状（例如利用近似的能带结构计算），再将这一猜测与数据比较检验，逐步加以完善。

论证式 (14.1) 的推理简单，却十分大胆。解释不可能是经典的，因为玻尔—范勒文定理（Bohr–van Leeuwen theorem，见第 31 章）指出，处于热平衡的经典系统，其任何性质都不可能以任何方式依赖于磁场。这一强有力的结果也适用于半经典系统（第 12、13 章所指的意义），因此德哈斯—范阿尔芬效应明确表明半经典模型失效。只要半经典理论预言电子运动在垂直于磁场的平面上的投影为闭合轨道，就会出现这种失效。当出现这一情形时（通常都会如此），垂直于 $\boldsymbol{H}$ 的运动能量便会量子化。原则上，要找到这些能级，必须重新求解磁场存在时电子在周期晶体势中的薛定谔方程。完整求解这一问题是一项艰巨的任务，目前只在磁场中自由电子这一简单情形（即周期势为零）下完成。下面描述自由电子情形的结果；其推导可参阅一本标准教材。⁷我们使用自由电子结果，仅用于说明和检验 Onsager 关于周期势中磁能级的理论的有效性；该理论一般得多，但严格性略逊。

均匀磁场中的自由电子

边长为 $L$、各边分别平行于 $x$、$y$、$z$ 轴的立方盒中，若存在沿 $z$ 方向的均匀磁场 $H$，电子的轨道⁸能级由两个量子数 $\nu$ 和 $k_z$ 确定：

$$ \begin{aligned}\mathcal E_{\nu}(k_z)&=\frac{\hbar^2}{2m}k_z^2+\left(\nu+\frac12\right)\hbar\omega_c,\\\omega_c&=\frac{eH}{mc}.\end{aligned} \tag{14.2} $$

量子数 $\nu$ 取遍所有非负整数；$k_z$ 的取值与无磁场时相同（式 (2.16)）：

$$ k_z=\frac{2\pi n_z}{L}, \tag{14.3} $$

其中 $n_z$ 为任意整数。每个能级都是高度简并的。对于给定的 $\nu$ 和 $k_z$，具有能量 (14.2) 的能级数为（包括自旋简并带来的因子 2）：

$$ \frac{2e}{hc}HL^2. \tag{14.4} $$

由于

$$ \frac{hc}{2e}=2.068\times10^{-7}\ \mathrm{G}\text{-}\mathrm{cm}^2, \tag{14.5} $$

在一千高斯的磁场（德哈斯—范阿尔芬实验的典型磁场）中，对于边长为 1 cm 的样品，简并度约为 $10^{10}$。这种简并性反映了如下事实：给定能量和 $k_z$ 的经典电子绕一条平行于 $z$ 轴的直线作螺旋运动，而这条直线可以具有任意的 $x$、$y$ 坐标。⁹

式 (14.2) 很容易理解：由于洛伦兹力在 $H$ 方向没有分量，$z$ 方向的运动能量不受磁场影响，仍由 $\hbar^2k_z^2/2m$ 给出。然而，垂直于磁场的运动能量，在无磁场时本应为 $\hbar^2(k_x^2+k_y^2)/2m$，现在却以 $\hbar\omega_c$ 为步长量子化，即普朗克常数乘以经典运动频率（第 14 页）。这种现象称为轨道量子化（orbit quantization）。给定 $\nu$（$k_z$ 任意）的全部能级，统称为第 $\nu$ 个朗道能级。¹⁰

利用这些信息，可以为自由电子模型建立德哈斯—范阿尔芬效应的理论。这里不重复这一分析¹¹，而转向 Onsager 简单却微妙的论证的一个稍作修改的版本；它将自由电子结果推广到布洛赫电子，并直接关系到费米面的确定问题。

均匀磁场中布洛赫电子的能级

Onsager 对 Landau 自由电子结果的推广，仅对量子数相当大的磁能级有效。然而，我们将发现德哈斯—范阿尔芬效应来自费米能处的能级，而这些能级几乎总具有非常大的量子数。例如，在自由电子理论中，除非电子的能量几乎全部属于平行于磁场的运动，否则能量为 $\mathcal E_F$ 的能级必定具有量子数 $\nu$，其数量级为 $\mathcal E_F/\hbar\omega_c=\mathcal E_F/[(e\hbar/mc)H]$。现在，

$$ \boxed{\frac{e\hbar}{mc}=\frac{\hbar}{m}\times10^{-8}\ \mathrm{eV/G}=1.16\times10^{-8}\ \mathrm{eV/G}.} \tag{14.6} $$

由于 $\mathcal E_F$ 通常为数电子伏，即使磁场高达 $10^4$ G，量子数 $\nu$ 的数量级仍为 $10^4$。

量子数非常大的能级的能量，可以利用玻尔对应原理（Bohr's correspondence principle）准确计算。该原理指出，两个相邻能级的能量差等于普朗克常数乘以在这些能级能量处的经典运动频率。由于 $k_z$ 是半经典运动的常数，我们将这一条件用于具有指定 $k_z$、量子数分别为 $\nu$ 和 $\nu+1$ 的能级。

令 $\mathcal E_{\nu}(k_z)$ 为给定 $k_z$ 处第 $\nu$ 个允许能级¹²的能量。对应原理于是给出

$$ \mathcal E_{\nu+1}(k_z)-\mathcal E_{\nu}(k_z)=\frac{h}{T(\mathcal E_{\nu}(k_z),k_z)}, \tag{14.7} $$

其中，$T(\mathcal E,k_z)$ 是由 $\mathcal E$ 和 $k_z$ 指定的轨道上半经典运动的周期（式 (12.42)）：

$$ T(\mathcal E,k_z)=\frac{\hbar^2c}{eH}\frac{\partial A(\mathcal E,k_z)}{\partial\mathcal E}, \tag{14.8} $$

而 $A(\mathcal E,k_z)$ 是轨道在 $\boldsymbol{k}$ 空间中包围的面积。结合式 (14.8) 和 (14.7)，可写成（省略变量 $k_z$ 的显式标记）

$$ (\mathcal E_{\nu+1}-\mathcal E_{\nu})\frac{\partial}{\partial\mathcal E}A(\mathcal E_{\nu})=\frac{2\pi eH}{\hbar c}. \tag{14.9} $$

由于我们关心的是与 $\mathcal E_F$ 同量级的 $\mathcal E_{\nu}$，可以大大简化式 (14.9)。根据自由电子结果，预计相邻朗道能级的能量差为 $\hbar\omega_c$ 的量级，与能级本身能量之比通常为 $10^{-4}$ 量级或更小。因此，取下式是极好的近似：

$$ \frac{\partial}{\partial\mathcal E}A(\mathcal E_{\nu})=\frac{A(\mathcal E_{\nu+1})-A(\mathcal E_{\nu})}{\mathcal E_{\nu+1}-\mathcal E_{\nu}}. \tag{14.10} $$

将其代入式 (14.9)，得到

$$ A(\mathcal E_{\nu+1})-A(\mathcal E_{\nu})=\frac{2\pi eH}{\hbar c}, \tag{14.11} $$

这表明，在相邻允许能量处（且 $k_z$ 相同）的经典轨道，所包围面积相差一个固定量 $\Delta A$，其中

$$ \boxed{\Delta A=\frac{2\pi eH}{\hbar c}.} \tag{14.12} $$

这一结论也可以表述为：在 $\nu$ 很大时，给定允许能量和 $k_z$ 的半经典轨道所包围的面积，必须按如下关系依赖于 $\nu$：

$$ \boxed{A(\mathcal E_{\nu}(k_z),k_z)=(\nu+\lambda)\Delta A,} \tag{14.13} $$

其中，$\lambda$ 与 $\nu$ 无关。¹³这就是 Onsager 的著名结果（他利用玻尔—索末菲量子化条件，Bohr–Sommerfeld quantization condition，通过另一途径得到这一结果）。

振荡现象的起源

德哈斯—范阿尔芬振荡及相关振荡的根源，是量子化条件 (14.13) 在电子能级密度中造成的尖锐振荡结构。只要 $\mathcal E$ 等于满足量子化条件的极值轨道¹⁴的能量，能级密度就会出现尖峰。¹⁵图 14.5 说明了其中原因。图 14.5a 描绘了给定 $\nu$ 时满足式 (14.13) 的全部轨道。它们在 $\boldsymbol{k}$ 空间中形成管状结构（截面积为 $(\nu+\lambda)\Delta A$）。与第 $\nu$ 根这样的管上的轨道对应的朗道能级，对 $g(\mathcal E)\,d\mathcal E$ 的贡献，等于其中能量介于 $\mathcal E$ 和 $\mathcal E+d\mathcal E$ 之间的能级数。而该数又正比于管中位于能量为 $\mathcal E$ 和 $\mathcal E+d\mathcal E$ 的两个等能面之间的那一部分的面积。¹⁶当管上能量为 $\mathcal E$ 的轨道不是极值轨道时，图 14.5b 给出了这一管段；当管上有一条能量为 $\mathcal E$ 的极值轨道时，图 14.5c 给出了对应管段。显然，在后一种情况下，管段的面积大大增加，因为在给定轨道附近，能级的能量沿管变化得非常缓慢。

金属的大多数电子性质依赖于费米能处的能级密度 $g(\mathcal E_F)$。由上述论证¹⁷直接可知，$g(\mathcal E_F)$ 将出现奇异性，条件是磁场值使费米面上的一条极值轨道满足量子化条件 (14.13)，即满足

$$ (\nu+\lambda)\Delta A=A_e(\mathcal E_F). \tag{14.14} $$

利用式 (14.12) 中 $\Delta A$ 的值，可知 $g(\mathcal E_F)$ 在 $1/H$ 的等间隔位置出现奇异性，间隔为

$$ \Delta\left(\frac1H\right)=\frac{2\pi e}{\hbar c}\frac1{A_e(\mathcal E_F)}. \tag{14.15} $$

因此，任何依赖于 $\mathcal E_F$ 处能级密度的量，都应表现出以式 (14.15) 为周期、随 $1/H$ 变化的振荡行为。在零温下，这几乎包括金属所有的特征性质。

在非零温度下，典型的金属性质由距 $\mathcal E_F$ 在 $k_BT$ 以内的能量范围中的平均值决定。如果这一范围宽到在任意 $H$ 值下，满足式 (14.13) 的极值轨道都对平均值有显著贡献，则 $1/H$ 中的振荡结构就会被抹平。当 $k_BT$ 大于相邻朗道能级管之间典型的能量间隔时，就会发生这种情况。我们用自由电子的能量间隔 $\hbar\omega_c$（式 (14.2)）来估计该间隔。由于

$$ \frac{e\hbar}{mck_B}=1.34\times10^{-4}\ \mathrm{K/G}, \tag{14.16} $$

必须采用 $10^4$ G 量级的磁场及低至数开尔文的温度，以免振荡因热效应而消失。

电子散射也会造成类似的问题。详细讨论其如何影响振荡很困难，但作粗略估计时，只须注意：如果电子弛豫时间为 $\tau$，它的能量便只能确定到 $\Delta\mathcal E\sim\hbar/\tau$ 的精度。如果 $\Delta\mathcal E$ 大于 $g(\mathcal E)$ 中各峰的间距，振荡结构就会显著减弱。在自由电子情形下，这一间距为 $\hbar\omega_c$，因此，要观测到振荡，$\omega_c\tau$ 必须与 1 相当或大于 1。这与电子输运半经典理论（第 12、13 章）中出现的强场条件相同。

电子自旋对振荡现象的影响

忽略自旋—轨道耦合（spin-orbit coupling）的影响，¹⁸电子自旋带来的主要复杂性，是每个能级的能量都将增加或减少

$$ \frac{ge\hbar H}{4mc} \tag{14.17} $$

具体取决于自旋沿磁场方向还是与之相反。数值 $g$（不要与能级密度 $g(\mathcal E)$ 混淆）是“电子 $g$ 因子”（electron $g$-factor），其值非常接近 2。如果将忽略这一附加能量计算得到的能级密度记为$g_0(\mathcal E)$，则这些移动使实际的能级密度 $g(\mathcal E)$ 成为

$$ g(\mathcal E)=\frac12g_0\left(\mathcal E+\frac{ge\hbar H}{4mc}\right)+\frac12g_0\left(\mathcal E-\frac{ge\hbar H}{4mc}\right). \tag{14.18} $$

注意，峰的移动量与峰间距相当（后者由自由电子值 $e\hbar H/mc$ 估计）。实际上已经观测到这样的情形：在适当的磁场方向下，这一移动使式 (14.18) 两项中的振荡相位相差 $180^\circ$，从而没有净振荡。

其他费米面探测方法

还可以利用多种其他实验探测费米面。一般而言，其他技术提供的信息在几何上不如德哈斯—范阿尔芬效应及相关振荡给出的极值截面积那样直观。而且，往往更难从数据中无歧义地提取这些信息。因此，这里仅简要介绍若干选定的方法。

磁声效应

测量声波在金属中沿垂直于均匀磁场的方向传播时的衰减，有时可以提取出关于费米面几何形状相当直接的信息。¹⁹当声波由同时垂直于传播方向和磁场方向的离子位移形成时，尤其如此（图 14.6）。由于离子带电，这种波伴随有频率、波矢和偏振均相同的电场。金属中的电子通过这一电场与声波相互作用，从而促进或阻碍声波传播。

如果条件允许电子在两次碰撞之间，在磁场中沿轨道运行许多周，²⁰那么声衰减对波长的依赖便可以反映费米面的几何形状。这是因为²¹，电子沿实空间轨道运动；这些轨道在垂直于磁场的平面上的投影，就是等能面的截面，按因子 $\hbar c/eH$ 缩放（并旋转 $90^\circ$）而得。当声波波长与电子轨道尺寸相当时，²²声波电场对电子扰动的程度，取决于波长 $l$ 与轨道沿波传播方向的最大线性尺寸 $l_c$ 如何匹配（这里将这一尺寸称为轨道的“直径”）。例如，轨道直径等于半个波长的电子（图 14.7a），可在整个轨道上都被波加速（或减速）；而轨道直径等于一个完整波长的电子（图 14.7b），总是在轨道某些部分被加速，在其他部分被减速。

更一般地，当轨道直径为波长的整数倍时，电子与波弱耦合；而当轨道直径与波长的整数倍相差半个波长时，电子可以与波强耦合：

$$ \begin{aligned}l_c&=nl&&\text{（弱耦合）},\\l_c&=\left(n+\tfrac12\right)l&&\text{（强耦合）}.\end{aligned} \tag{14.19} $$

只有费米面附近的电子才能影响声衰减，因为不相容原理禁止较低能量的电子与波交换少量能量。费米面的直径具有连续的取值范围，但直径接近极值直径的轨道上的电子起主导作用，因为这样的电子多得多。²³

因此，声衰减可以随波长倒数呈周期性变化，其周期（参见式 (14.19)）等于费米面沿声波传播方向的极值直径的倒数：

$$ \Delta\left(\frac1l\right)=\frac1{l_c}. \tag{14.20} $$

通过改变传播方向（使不同的极值直径起作用）和磁场方向（使不同的费米面截面起作用），有时可以从声衰减的这种结构中推断出费米面的形状。

超声衰减

无磁场时，也可以从声衰减的测量中提取费米面信息。此时不再考察共振效应，而是假定衰减完全由能量传给电子造成，直接计算衰减率。可以证明，如果确实如此，²⁴衰减便完全由费米面的几何形状决定。然而，即使在最佳条件下，以这种方式提取的几何信息，也远不如德哈斯—范阿尔芬效应给出的极值截面积，或磁声效应可推导出的极值直径那样简单。

反常趋肤效应

最早的费米面测定之一（铜）由 Pippard²⁵ 通过测量微波电磁辐射的反射与吸收完成（没有静态磁场）。如果频率 $\omega$ 不太高，这种场会穿透进入金属，深度为 $\delta_0$（“经典趋肤深度”，classical skin depth），由下式给出²⁶：

$$ \delta_0=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\omega}}. \tag{14.21} $$

式 (14.21) 的推导假定金属中的场在一个平均自由程内变化很小：$\delta_0\gg\ell$。当 $\delta_0$ 与 $\ell$ 相当时，需要复杂得多的理论；当 $\delta_0\ll\ell$（“极端反常区域”，extreme anomalous regime）时，场在距离 $\delta_0$ 内指数衰减的简单图像完全失效。然而，在极端反常情形下，可以证明场的穿透以及微波反射率，完全由费米面几何形状的某些特征决定，而这些特征仅依赖于费米面相对于样品实际表面的取向。

回旋共振

这一技术也利用微波场穿透进入金属时的衰减。严格地说，该方法测量的不是费米面几何形状，而是由 $\partial A/\partial\mathcal E$ 决定的“回旋质量”（cyclotron mass，式 (12.44)）。测量方法是观测电场与均匀磁场中电子运动发生共振的频率。电子作周期运动需要较大的 $\omega_c\tau$，而共振条件 $\omega=\omega_c$ 在微波频率下满足。

由于场穿透进入金属的深度不大，电子只有在距表面一个趋肤深度以内时才能吸收能量。²⁷在微波频率和较大 $\omega_c$ 下，系统处于极端反常区域，趋肤深度远小于平均自由程。由于费米面处电子的实空间轨道尺寸与平均自由程相当，趋肤深度也远小于轨道尺寸。

基于这些考虑，Azbel' 和 Kaner²⁸ 建议将磁场置于平行于表面的方向，形成图 14.8 所示的几何配置。如果电子每次进入趋肤深度内时，都遇到相位相同的电场，就能从场中共振吸收能量。当电子每次返回表面时，外加场恰好完成整数个周期 $T_E$，便会出现这种情况：

$$ T=nT_E, \tag{14.22} $$

其中，$T$ 是回旋运动周期，$n$ 为整数。由于频率与周期成反比，可将式 (14.22) 写成

$$ \omega=n\omega_c. \tag{14.23} $$

通常固定频率 $\omega$，改变磁场强度 $H$，将共振条件写成

$$ \frac1H=\frac{2\pi e}{\hbar^2c\omega}\frac1{\partial A/\partial\mathcal E}\,n. \tag{14.24} $$

因此，如果将吸收对 $1/H$ 作图，给定回旋周期产生的共振峰将等间距分布。哪些轨道对共振作出主要贡献这一问题，使数据分析复杂化。对于椭球形费米面，可以证明回旋频率只依赖于磁场方向，与轨道的高度 $k_z$ 无关。因此，这种情况下该方法十分明确。然而，当给定磁场方向下存在连续分布的周期时，即只要 $T(\mathcal E_F,k_z)$ 依赖于 $k_z$，解释数据便需要谨慎。与通常情况一样，只须考虑费米面处的轨道，因为不相容原理禁止较低轨道上的电子吸收能量。定量计算表明，回旋周期 $T(\mathcal E_F,k_z)$ 相对于 $k_z$ 取极值的轨道，很可能决定共振频率。然而，能量损耗对频率的详细依赖可能具有相当复杂的结构，必须警惕这样一种可能性：测得的未必总是 $T(\mathcal E_F,k_z)$ 的极值，而可能是 $T$ 在费米面上的某种颇为复杂的平均。情况远不如德哈斯—范阿尔芬效应那样清楚。

图 14.9 给出了一些典型的回旋共振数据。注意其中涉及多个极值周期。单个周期产生的全部峰在 $1/H$ 上的等间距分布，非常有助于分辨这一颇为复杂的结构。

尺寸效应

另一类费米面探测方法使用具有平行平面表面的极薄样品，寻找恰好容纳于两个表面之间的电子轨道产生的共振效应。其中最直观的是平行磁场甘特马赫效应（parallel-field Gantmakher effect）：²⁹将金属薄板置于平行于其表面的磁场中，并用偏振方向垂直于磁场的微波辐射照射（图 14.10）。

假定板厚相对于趋肤深度很大，但相对于平均自由程并不大（这要求处于极端反常区域）。那么，电场只有在电子距表面一个趋肤深度以内时才能影响电子；反过来，也只有在距表面一个趋肤深度以内时，电子才能将能量重新辐射到金属外部。

现在考虑这样的电子：它们在磁场中的轨道，使其从距板上表面一个趋肤深度以内运动到距下表面一个趋肤深度以内。可以证明，这些轨道上的电子能够在板的远侧重现驱动电场在近侧诱导的电流，从而使电磁能量从板的远侧辐射出去。因此，穿过板的电磁能量透射将发生共振增强，只要厚度和磁场使轨道能与表面如此匹配。这里同样只有费米面附近的电子起作用，因为不相容原理只允许这些电子与场交换能量。同样，只有具有极值线性尺寸的轨道才会对共振有贡献。

甘特马赫效应的测量往往在兆赫兹频段进行，以避免尺寸共振叠加在回旋共振频率上而产生复杂情况；微波频段中可能出现这种叠加。然而，频率必须足够高，使系统处于反常区域。

上述费米面探测方法以及多种相关方法，如今已应用于大量金属。第 15 章将综述以这种方式获得的信息。

习题

1.

(a) 证明，将 Onsager 量子化条件 (14.13)（取 $\lambda=\tfrac12$）应用于自由电子轨道，可直接得到自由电子能级 (14.2)。

(b) 证明，自由电子能级 (14.2) 的简并度 (14.4)，就是零磁场下具有给定 $k_z$，且 $k_x$ 和 $k_y$ 位于面积为 $\Delta A$ 的平面区域内的自由电子能级数（式 (14.12)）。

2.

利用基本关系 (14.1)，推导出导致图 14.2b 中振荡的两条极值轨道的面积之比。

3.

如果德哈斯—范阿尔芬实验所用的金属样品中的磁场存在任何不均匀性，$g(\mathcal E)$ 中的结构便会反映这一变化。不同区域的 $g(\mathcal E)$ 将在不同磁场强度下取极大值；磁化率是所有区域贡献的总和，因而可能失去振荡结构。为避免这种情况，磁场的任何空间变化 $\delta H$ 所引起的变化 $\delta\mathcal E_{\nu}$，相对于极值轨道的 $\mathcal E_{\nu+1}-\mathcal E_{\nu}$ 都必须很小。利用极值轨道上 $\partial A(\mathcal E,k_z)/\partial k_z$ 为零这一事实，从式 (14.13) 计算极值轨道的 $\partial\mathcal E_{\nu}(k_z)/\partial H$。由此推导出，要保持振荡结构，磁场不均匀性必须满足

$$ \frac{\delta H}{H}\lt \frac{\Delta A}{A}, \tag{14.25} $$

其中，$\Delta A$ 由式 (14.12) 给出。

4.

(a) 证明，在微波频率范围（$\omega\sim10^{10}$ sec$^{-1}$）内，描述电磁波在金属中传播的式 (1.33) 化为

$$ -\nabla^2\boldsymbol{E}=\left(\frac{4\pi i\sigma\omega}{c^2}\right)\boldsymbol{E}. \tag{14.26} $$

(b) 由此推导出经典趋肤深度的表达式 (14.21)。

(c) 当场在一个平均自由程内显著变化时，为何上述分析不正确？（提示：需要重新考察 Drude 对欧姆定律的推导。）