倒格子（The Reciprocal Lattice）

本文是「固体物理学」系列的第 5 篇（共 34 篇），整理自 Neil W. Ashcroft 与 N. David Mermin 所著 Solid State Physics 第 5 章的中文译稿。

倒格子（reciprocal lattice）在周期结构的大多数解析研究中起着根本作用。许多不同的研究途径都会引出这一概念，例如晶体衍射理论、具有布拉维格子周期性的函数的抽象研究，以及当自由空间的完整平移对称性降低为周期势的平移对称性时，动量守恒定律还能保留哪些内容的问题。本章篇幅简短，将从不涉及任何特定应用的一般观点出发，介绍倒格子的一些重要基本特征。

倒格子的定义

考虑构成布拉维格子的一组点 $\boldsymbol{R}$，以及平面波（plane wave）$e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}$。对于一般的 $\boldsymbol{k}$，这样的平面波当然不具有该布拉维格子的周期性；但对于某些特定的波矢（wave vector），则具有这一周期性。所有使平面波具有某一给定布拉维格子周期性的波矢 $\boldsymbol{K}$ 所构成的集合，称为该格子的倒格子。 从解析角度说，若下式

$$ e^{i\boldsymbol{K}\cdot(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R})}=e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}} \tag{5.1} $$

对任意 $\boldsymbol{r}$ 及布拉维格子中的所有 $\boldsymbol{R}$ 都成立，那么 $\boldsymbol{K}$ 就属于由点 $\boldsymbol{R}$ 构成的布拉维格子的倒格子。约去因子 $e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}}$，可以把倒格子表征为满足下式的波矢 $\boldsymbol{K}$ 的集合：

$$ e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{R}}=1 \tag{5.2} $$

其中该式须对布拉维格子中的所有 $\boldsymbol{R}$ 成立。

注意，倒格子是相对于某一特定布拉维格子定义的。相对于其倒格子而言，确定该倒格子的布拉维格子常称为正格子（direct lattice）。还应注意，虽然对于任意矢量集合 $\boldsymbol{R}$，都可以定义满足（5.2）的矢量集合 $\boldsymbol{K}$，但只有当矢量 $\boldsymbol{R}$ 的集合构成布拉维格子时，这样的 $\boldsymbol{K}$ 集合才称为倒格子。¹

倒格子是布拉维格子

倒格子本身是布拉维格子，这一结论最容易由第 4 章脚注 7 中的布拉维格子定义得出，再结合如下事实：如果 $\boldsymbol{K}_1$ 和 $\boldsymbol{K}_2$ 满足（5.2），那么它们的和与差显然也满足该式。

考虑一个较为繁琐的证明仍然有价值，因为它提供了构造倒格子的明确算法。令 $\boldsymbol{a}_1$、$\boldsymbol{a}_2$ 和 $\boldsymbol{a}_3$ 为正格子的一组原始基矢（primitive vectors）。那么，倒格子可由以下三个原始基矢生成：

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{b}_1&=2\pi\frac{\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3}{\boldsymbol{a}_1\cdot(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3)},\\\boldsymbol{b}_2&=2\pi\frac{\boldsymbol{a}_3\times\boldsymbol{a}_1}{\boldsymbol{a}_1\cdot(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3)},\\\boldsymbol{b}_3&=2\pi\frac{\boldsymbol{a}_1\times\boldsymbol{a}_2}{\boldsymbol{a}_1\cdot(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3)}.\end{aligned} \tag{5.3} $$

要验证（5.3）给出倒格子的一组原始基矢，首先注意到 $\boldsymbol{b}_i$ 满足²：

$$ \boldsymbol{b}_i\cdot\boldsymbol{a}_j=2\pi\delta_{ij}, \tag{5.4} $$

其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克 delta 符号（Kronecker delta symbol）：

$$ \begin{aligned}\delta_{ij}&=0,\quad i\neq j;\\\delta_{ij}&=1,\quad i=j.\end{aligned} \tag{5.5} $$

任意矢量 $\boldsymbol{k}$ 都可以写成 $\boldsymbol{b}_i$ 的线性组合³：

$$ \boldsymbol{k}=k_1\boldsymbol{b}_1+k_2\boldsymbol{b}_2+k_3\boldsymbol{b}_3. \tag{5.6} $$

若 $\boldsymbol{R}$ 是任意正格矢，则

$$ \boldsymbol{R}=n_1\boldsymbol{a}_1+n_2\boldsymbol{a}_2+n_3\boldsymbol{a}_3, \tag{5.7} $$

其中 $n_i$ 为整数。由（5.4）得

$$ \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}=2\pi(k_1n_1+k_2n_2+k_3n_3). \tag{5.8} $$

要使 $e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}$ 对所有 $\boldsymbol{R}$ 都为 1（式（5.2）），对于整数 $n_i$ 的任意选择，$\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}$ 都必须是 $2\pi$ 的整数倍。这要求系数 $k_i$ 为整数。因此，$\boldsymbol{K}$ 是倒格矢的条件（5.2），恰好由那些以整系数构成 $\boldsymbol{b}_i$ 的线性组合（5.6）的矢量满足。于是（比较式（4.1）），倒格子是布拉维格子，$\boldsymbol{b}_i$ 可以取作原始基矢。

倒格子的倒格子

由于倒格子本身是布拉维格子，可以构造它的倒格子。结果恰好就是原来的正格子。

一种证明方法是：按照由 $\boldsymbol{a}_i$ 构造 $\boldsymbol{b}_i$ 的同一个公式（5.3），由 $\boldsymbol{b}_i$ 构造 $\boldsymbol{c}_1$、$\boldsymbol{c}_2$ 和 $\boldsymbol{c}_3$。由简单的矢量恒等式（习题 1）即可得出 $\boldsymbol{c}_i=\boldsymbol{a}_i$，$i=1,2,3$。

更简单的证明来自这样一个观察：根据基本定义（5.2），倒格子的倒格子是满足下式的所有矢量 $\boldsymbol{G}$ 的集合：

$$ e^{i\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{K}}=1 \tag{5.9} $$

其中该式须对倒格子中的所有 $\boldsymbol{K}$ 成立。由于任意正格矢 $\boldsymbol{R}$ 都具有这一性质（仍由（5.2）得出），所有正格矢都属于倒格子的倒格子。此外，不可能有其他矢量属于它，因为不在正格子中的矢量具有形式 $\boldsymbol{r}=x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+x_3\boldsymbol{a}_3$，其中至少一个 $x_i$ 不是整数。对于这个 $i$，$e^{i\boldsymbol{b}_i\cdot\boldsymbol{r}}=e^{2\pi ix_i}\neq1$，故对于倒格矢 $\boldsymbol{K}=\boldsymbol{b}_i$，条件（5.9）不成立。

重要实例

立方原胞边长为 $a$ 的简单立方（simple cubic）布拉维格子，其倒格子是立方原胞边长为 $2\pi/a$ 的简单立方格子。例如，这可以从构造式（5.3）看出，因为若

$$ \boldsymbol{a}_1=a\hat{\boldsymbol{x}},\quad\boldsymbol{a}_2=a\hat{\boldsymbol{y}},\quad\boldsymbol{a}_3=a\hat{\boldsymbol{z}}, \tag{5.10} $$

则

$$ \boldsymbol{b}_1=\frac{2\pi}{a}\hat{\boldsymbol{x}},\quad\boldsymbol{b}_2=\frac{2\pi}{a}\hat{\boldsymbol{y}},\quad\boldsymbol{b}_3=\frac{2\pi}{a}\hat{\boldsymbol{z}}. \tag{5.11} $$

惯用立方晶胞边长为 $a$ 的面心立方（face-centered cubic，fcc）布拉维格子，其倒格子是惯用立方晶胞边长为 $4\pi/a$ 的体心立方格子。把构造式（5.3）应用于 fcc 原始基矢（4.5），即可看出这一点。结果为：

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{b}_1&=\frac{4\pi}{a}\frac{1}{2}(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}-\hat{\boldsymbol{x}}),\quad\boldsymbol{b}_2=\frac{4\pi}{a}\frac{1}{2}(\hat{\boldsymbol{z}}+\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}),\\\boldsymbol{b}_3&=\frac{4\pi}{a}\frac{1}{2}(\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}}).\end{aligned} \tag{5.12} $$

只要把立方晶胞的边长取为 $4\pi/a$，它就恰好具有 bcc 原始基矢（4.4）的形式。

惯用立方晶胞边长为 $a$ 的体心立方（body-centered cubic，bcc）格子，其倒格子是惯用立方晶胞边长为 $4\pi/a$ 的面心立方格子。这同样可以由构造式（5.3）证明，也可由上述 fcc 格子的倒格子结果，结合“倒格子的倒格子就是原格子”这一定理得出。

留给读者作为练习（习题 2）验证：晶格常数为 $c$ 和 $a$ 的简单六方（simple hexagonal）布拉维格子（图 5.1a），其倒格子是另一个简单六方格子，晶格常数为 $2\pi/c$ 和 $4\pi/\sqrt{3}a$（图 5.1b），相对于正格子绕 $c$ 轴旋转了 $30^\circ$。⁴

倒格子原胞的体积

若 $v$ 是正格子中一个原胞的体积⁵，则倒格子原胞的体积为 $(2\pi)^3/v$。习题 1 将证明这一点。

第一布里渊区（first Brillouin zone）

倒格子的维格纳—赛茨原胞（Wigner-Seitz primitive cell，第 73 页）称为第一布里渊区。顾名思义，还定义了更高阶的布里渊区；它们是另一类原胞，出现在周期势中的电子能级理论中。第 9 章将介绍它们。

虽然“维格纳—赛茨原胞”和“第一布里渊区”这两个术语指的是相同的几何构造，但实际使用中，后者只用于 $k$ 空间的胞。特别是，当谈到某一特定 $r$ 空间布拉维格子（与某一特定晶体结构相关）的第一布里渊区时，所指的总是相应倒格子的维格纳—赛茨原胞。因此，由于体心立方格子的倒格子是面心立方格子，bcc 格子的第一布里渊区（图 5.2a）就是 fcc 维格纳—赛茨原胞（图 4.16）。反过来，fcc 格子的第一布里渊区（图 5.2b）就是 bcc 维格纳—赛茨原胞（图 4.15）。

晶格平面（lattice planes）

倒格子中的矢量与正格子中由格点组成的平面之间，存在密切关系。这一关系对于理解倒格子在衍射理论中的根本作用具有一定的重要性，下一章将把它应用于这一问题。这里先从一般的几何角度描述这种关系。给定一个特定的布拉维格子，晶格平面定义为至少包含三个不共线布拉维格点的任意平面。由于布拉维格子的平移对称性，任何这样的平面实际上都包含无限多个格点，它们在该平面内构成二维布拉维格子。图 5.3 示出了简单立方布拉维格子中的一些晶格平面。

所谓一族晶格平面（family of lattice planes），是指一组彼此平行、等间距的晶格平面，它们合在一起包含三维布拉维格子的所有点。任意晶格平面都属于这样的一族。显然，把布拉维格子分解为一族晶格平面的方式远非唯一（图 5.3）。倒格子提供了一种非常简单的方式，对所有可能的晶格平面族进行分类，体现于以下定理：

对于间距为 $d$ 的任意一族晶格平面，都存在垂直于这些平面的倒格矢，其中最短者的长度为 $2\pi/d$。反过来，对于任意倒格矢 $\boldsymbol{K}$，都存在一族垂直于 $\boldsymbol{K}$、间距为 $d$ 的晶格平面，其中 $2\pi/d$ 是平行于 $\boldsymbol{K}$ 的最短倒格矢的长度。

该定理直接来自：(a) 将倒格矢定义为在所有布拉维格点上都取值为 1 的平面波的波矢的定义（5.2）；(b) 对于一族垂直于波矢、间距为波长整数倍的平面，平面波在这些平面上的所有点都具有相同值。

为证明定理的第一部分，给定一族晶格平面，令 $\hat{\boldsymbol{n}}$ 为垂直于这些平面的单位矢量。$\boldsymbol{K}=2\pi\hat{\boldsymbol{n}}/d$ 是倒格矢，这来自如下事实：平面波 $e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}}$ 在垂直于 $\boldsymbol{K}$ 的平面上为常数，并在间距为 $\lambda=2\pi/K=d$ 的各平面上具有相同值。由于其中一个晶格平面包含布拉维格点 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}$，$e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}}$ 对任意一个平面中的任意点 $\boldsymbol{r}$ 都必须为 1。由于这些平面包含所有布拉维格点，$e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}}=1$ 对所有 $\boldsymbol{R}$ 成立，因此 $\boldsymbol{K}$ 确实是倒格矢。此外，$\boldsymbol{K}$ 是垂直于这些平面的最短倒格矢，因为任何比 $\boldsymbol{K}$ 短的波矢，都会给出波长大于 $2\pi/K=d$ 的平面波。这样的平面波不可能在该平面族的所有平面上都具有相同值，因而不可能在所有布拉维格点上都取值为 1。

为证明定理的逆命题，给定一个倒格矢，令 $\boldsymbol{K}$ 为与它平行的最短倒格矢。考虑平面波 $e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}}$ 取值为 1 的实空间平面集合。这些平面（其中一个包含点 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}$）垂直于 $\boldsymbol{K}$，间距为 $d=2\pi/K$。由于对于任意倒格矢 $\boldsymbol{K}$，布拉维格矢 $\boldsymbol{R}$ 都满足 $e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{R}}=1$，所以它们必定都位于这些平面内；也就是说，这一平面族必须包含一族晶格平面。此外，晶格平面之间的间距也是 $d$（而不是 $d$ 的某个整数倍），因为若该平面族中只有每隔 $n$ 个的平面才包含布拉维格点，那么根据定理的第一部分，垂直于这些平面、长度为 $2\pi/nd$ 的矢量，即 $\boldsymbol{K}/n$，就会是倒格矢。这与最初的假设矛盾：不存在平行于 $\boldsymbol{K}$ 且比 $\boldsymbol{K}$ 更短的倒格矢。

晶格平面的米勒指数（Miller indices）

倒格矢与晶格平面族之间的对应关系，为指定晶格平面的取向提供了方便的方法。一般来说，可以通过给出垂直于某平面的矢量，来描述该平面的取向。既然知道任意一族晶格平面都有垂直于它的倒格矢，自然就可以选取一个倒格矢来表示法向。为使这一选择唯一，采用这样的倒格矢中的最短者。这样就得到该平面的米勒指数：

晶格平面的米勒指数，是垂直于该平面的最短倒格矢，相对于某一指定的倒格子原始基矢组的坐标。因此，米勒指数为 $h,k,l$ 的平面，垂直于倒格矢 $h\boldsymbol{b}_1+k\boldsymbol{b}_2+l\boldsymbol{b}_3$。

如此定义的米勒指数是整数，因为任意倒格矢都是三个原始基矢的整系数线性组合。由于平面法向由最短的垂直倒格矢规定，整数 $h,k,l$ 不能有公因子。还应注意，米勒指数依赖于原始基矢的特定选择。

对于简单立方布拉维格子，倒格子也是简单立方格子，米勒指数就是垂直于该平面的矢量在显然的立方坐标系中的坐标。通常，面心立方和体心立方布拉维格子用惯用立方晶胞描述，也就是将其看作带基元的简单立方格子。由于 fcc 或 bcc 格子中的任意晶格平面，也是底层简单立方格子中的晶格平面，因此可以使用同样的基本立方指标来指定晶格平面。在实际使用中，只有描述非立方晶体时，才必须记住：米勒指数是法向在由倒格子给出的坐标系中的坐标，而不是正格子坐标系中的坐标。

平面的米勒指数在正格子中具有几何解释，有时也用它作为另一种定义方式。因为米勒指数为 $h,k,l$ 的晶格平面垂直于倒格矢 $\boldsymbol{K}=h\boldsymbol{b}_1+k\boldsymbol{b}_2+l\boldsymbol{b}_3$，适当选择常数 $A$，该晶格平面就包含于连续平面 $\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r}=A$ 中。这个平面与由正格子原始基矢 $\boldsymbol{a}_i$ 确定的各轴，分别交于点 $x_1\boldsymbol{a}_1$、$x_2\boldsymbol{a}_2$ 和 $x_3\boldsymbol{a}_3$（图 5.4）；$x_i$ 由 $x_i\boldsymbol{a}_i$ 确实满足平面方程这一条件确定，即 $\boldsymbol{K}\cdot(x_i\boldsymbol{a}_i)=A$。由于 $\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{a}_1=2\pi h$、$\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{a}_2=2\pi k$ 和 $\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{a}_3=2\pi l$，因此有

$$ x_1=\frac{A}{2\pi h},\quad x_2=\frac{A}{2\pi k},\quad x_3=\frac{A}{2\pi l}. \tag{5.13} $$

因此，晶格平面在各晶轴上的截距，与该平面的米勒指数成反比。

晶体学家把次序倒过来，将米勒指数定义为一组没有公因子的整数，它们与晶面在各晶轴上的截距成反比：

$$ h:k:l=\frac{1}{x_1}:\frac{1}{x_2}:\frac{1}{x_3}. \tag{5.14} $$

指定方向的一些约定

通常把米勒指数放在圆括号中来指定晶格平面：$(h,k,l)$。因此，在立方晶系中，法向为 $(4,-2,1)$ 的平面（或者，从晶体学角度说，在立方轴上的截距为 $(1,-2,4)$ 的平面），称为 $(4,-2,1)$ 平面。以 $\bar{n}$ 代替 $-n$，就可以去掉逗号而不会产生混淆，将表示简化为 $(4\bar{2}1)$。要无歧义地解释这些符号，必须知道采用的是哪一组坐标轴。晶体具有立方对称性时，总是采用简单立方轴。图 5.5 示出了立方晶体中平面的几个例子。

指定正格子中的方向时采用类似的约定，但为避免与米勒指数（倒格子中的方向）混淆，使用方括号而不是圆括号。因此，简单立方格子的体对角线沿 $[111]$ 方向；一般来说，格点 $n_1\boldsymbol{a}_1+n_2\boldsymbol{a}_2+n_3\boldsymbol{a}_3$ 位于从原点出发的 $[n_1n_2n_3]$ 方向上。

还有一种记号，同时指定一族晶格平面，以及由于晶体对称性而与它等价的所有其他平面族。例如，在立方晶体中，$(100)$、$(010)$ 和 $(001)$ 平面都等价。将它们统称为 $\{100\}$ 平面；一般地，用 $\{hkl\}$ 表示 $(hkl)$ 平面以及由于晶体对称性而与之等价的所有平面。方向也采用类似约定：立方晶体中的 $[100]$、$[010]$、$[001]$、$[\bar{1}00]$、$[0\bar{1}0]$ 和 $[00\bar{1}]$ 方向，统称为 $\langle100\rangle$ 方向。

至此结束对倒格子的一般几何讨论。第 6 章将介绍晶体对 X 射线的衍射理论中的一个重要例子，展示这一概念的实用性和力量。

习题

1.

(a) 证明：（5.3）中定义的倒格子原始基矢满足

$$ \boldsymbol{b}_1\cdot(\boldsymbol{b}_2\times\boldsymbol{b}_3)=\frac{(2\pi)^3}{\boldsymbol{a}_1\cdot(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3)}. \tag{5.15} $$

（提示：将 $\boldsymbol{b}_1$（但不是 $\boldsymbol{b}_2$ 或 $\boldsymbol{b}_3$）用 $\boldsymbol{a}_i$ 表示，并使用正交关系（5.4）。）

(b) 假设用与由 $\boldsymbol{a}_i$ 构造 $\boldsymbol{b}_i$ 相同的方式（式（5.3）），从 $\boldsymbol{b}_i$ 构造原始基矢。证明这些矢量就是 $\boldsymbol{a}_i$ 本身；即证明

$$ 2\pi\frac{\boldsymbol{b}_2\times\boldsymbol{b}_3}{\boldsymbol{b}_1\cdot(\boldsymbol{b}_2\times\boldsymbol{b}_3)}=\boldsymbol{a}_1,\quad\text{等等。} \tag{5.16} $$

（提示：将分子中的 $\boldsymbol{b}_3$（但不是 $\boldsymbol{b}_2$）用 $\boldsymbol{a}_i$ 表示，使用矢量恒等式 $\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$，并利用正交关系（5.4）及上述结果（5.15）。）

(c) 证明：布拉维格子原胞的体积为

$$ v=|\boldsymbol{a}_1\cdot(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3)|, \tag{5.17} $$

其中 $\boldsymbol{a}_i$ 为三个原始基矢。（结合（5.15），这就证明了倒格子原胞的体积为 $(2\pi)^3/v$。）

2.

(a) 使用式（4.9）给出的原始基矢及构造式（5.3）（或任意其他方法），证明简单六方布拉维格子的倒格子也是简单六方格子，晶格常数为 $2\pi/c$ 和 $4\pi/\sqrt{3}a$，相对于正格子绕 $c$ 轴旋转了 $30^\circ$。

(b) $c/a$ 取何值时，这一比值在正格子和倒格子中相同？若正格子中的 $c/a$ 为理想值，倒格子中的值是多少？

(c) 由三个长度均为 $a$、彼此夹角均为 $\theta$ 的原始基矢生成的布拉维格子，称为三方布拉维格子（trigonal Bravais lattice，见第 7 章）。证明：三方布拉维格子的倒格子也是三方格子，其夹角 $\theta^*$ 由 $-\cos\theta^*=\cos\theta/[1+\cos\theta]$ 给出，原始基矢长度 $a^*$ 由 $a^*=(2\pi/a)(1+2\cos\theta\cos\theta^*)^{-1/2}$ 给出。

3.

(a) 证明：晶格平面中的格点密度（单位面积内）为 $d/v$，其中 $v$ 是原胞体积，$d$ 是给定平面所属平面族中相邻平面之间的间距。

(b) 证明：面心立方布拉维格子中格点密度最大的晶格平面是 $\{111\}$ 平面；体心立方布拉维格子中则是 $\{110\}$ 平面。（提示：利用晶格平面族与倒格矢之间的关系，可以最容易地证明这一点。）

4.

证明：任意倒格矢 $\boldsymbol{K}$ 都是与它平行的最短倒格矢 $\boldsymbol{K}_0$ 的整数倍。（提示：假设相反的情形成立，并由倒格子是布拉维格子这一事实，推导出必定存在平行于 $\boldsymbol{K}$、比 $\boldsymbol{K}_0$ 更短的倒格矢。）